§ 17. Уравнения фигур на плоскости

67. Уравнение окружности.

Уравнением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется такое уравнение с двумя переменными х и у, что координаты любой точки фигуры являются решением этого уравнения. И обратно: любые два числа, удовлетворяющие этому уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры.

Окружность с центром и радиусом R (рис. 193) задается уравнением

Если центром окружности является начало координат, то уравнение окружности имеет вид:

Пример. Составить уравнение окружности с центром на прямой касающейся оси в точке .

Решение. В системе координат построим прямую (рис. 194) и точку . По условию окружность должна касаться оси в точке А, а ее центр должен лежать на прямой т. е. центр окружности — точка будет иметь координаты Искомое уравнение есть уравнение окружности с центром в точке и радиусом 4;

68. Пересечение двух окружностей.

На рисунке 195 даны две окружности с центрами расстоянием между центрами и радиусами, соответственно равными а и b. Примем точку О за начало координат, а полупрямую за положительную полуось Тогда уравнения окружностей таковы:

Решив систему этих уравнений, можно сделать вывод: если одно из чисел а, b, с больше суммы двух других, то окружности не имеют общей точки (рис. 195, а); если одно из этих чисел равно сумме двух других, то окружности касаются (рис. 195, в, г); если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то окружности имеют две общие точки, т. е. пересекаются (рис. 195, д).

69. Уравнение прямой.

Любая прямая в декартовых координатах на плоскости задается уравнением

Коэффициенты а и b в этом уравнении могут принимать различные значения. В зависимости от этого прямая будет по-разному располагаться на плоскости. Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. . В этом случае уравнение прямой можно записать так: Все точки имеют одну и ту же ординату следовательно, прямая параллельна оси ).

В частности, если то прямая совпадает с осью . 2. . В этом случае уравнение принимает вид Прямая параллельна оси у (рис. 196, б) или совпадает с ней, если

3. с=0. Уравнение принимает вид Прямая проходит через начало координат (рис. 196, в).

Если в уравнении прямой коэффициент то можно записать получим Коэффициент k в этом уравнении называется угловым коэффициентом прямой.

На рисунке 197 точки принадлежат изображенным прямым, а значит,

вычитая почленно из второго равенства первое, получим:

откуда .

В случае, изображенном на рисунке 197, а,

В случае, изображенном на рисунке 197, б,

Угловой коэффициент прямой имеет следующий геометрический смысл: коэффициент k в уравнении прямой с точностью до знака равен тангенсу острого угла, который образует прямая с осью

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку .

Решение. Уравнение прямой имеет вид . Надо найти k и .

Прямая проходит через начало координат, т. е. координаты точки удовлетворяют уравнению прямой .

Угловой коэффициент k найдем по формуле

где точки, через которые проходит прямая,

т. е. . Итак,

Искомое уравнение прямой имеет вид

70. Пересечение прямой и окружности.

На рисунке 198 изображена окружность радиуса R и прямая a, d — расстояние от центра этой окружности до прямой . Если принять центр окружности за начало координат, а прямую, перпендикулярную прямой , за ось то уравнения окружности и прямой таковы: Решая полученную систему, найдем

Окружность и прямая имеют две общие точки, т. е. пересекаются, если R>d (рис. 199, с); прямая и окружность имеют одну общую точку, т. е. касаются, если прямая и окружность не пересекаются, если RПример 1. Окружность с центром в точке касается оси у. Пересекает ли эта окружность ось

Решение. Из условия следует, что радиус окружности равен 2, а уравнение имеет вид Далее задачу можно решить по-разному.

1-й способ. Для того чтобы окружность пересекла ось должно выполняться условие где R — радиус окружности, расстояние от центра окружности до прямой. Так как , то окружность не пересекает ось х.

2-й способ. При имеем что невозможно. Поскольку условие О приводит к неравенству можем сделать вывод: окружность не пересекает ось

Пример 2. При каком значении с прямая касается окружности

Решение. Решим систему уравнений:

Преобразовав второе уравнение, получаем квадратное уравнение дискриминант которого равен Для того чтобы прямая и окружность касались, нужно, чтобы они имели единственную офцую точку, а это значит, что полученное квадратное уравнение относительно у должно иметь единственное решение. Это будет в том случае, еслн откуда Прямые касаются окружности