Глава VI. НЕРАВЕНСТВА

§ 17. Решение неравенств с переменной

174. Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной.

Пусть дано неравенство Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства равносильны по теореме 6.1. Неравенства равносильны по теореме 6.2 (обе части неравенства мы разделили на положительное число 3, оставив без изменения знак исходного неравенства). Неравенства равносильны по теореме 6.3 (обе части неравенства мы разделили на отрицательное число —6, изменив при этом знак исходного неравенства на знак ).

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 6.2 и 6.3.

Если обе части неравенства умножить или разделить I на одно и то же выражение, принимающее при всех

значениях переменной положительные значения то получится неравенство равносильное данному.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

175. Графическое решение неравенств с одной переменной.

Для графического решения неравенства нужно построить графики функций и выбрать те промежутки оси абсцисс, на которых график функции расположен выше графика функции

Пример. Решить графически неравенство

Решение. Построим в одной системе координат графики функций Из рисунка видно, что график функции расположен выше графика функции при

Ответ:

176. Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называется неравенство вида соответственно Если то неравенство равносильно неравенству , значит, множество решений неравенства есть промежуток Если , то неравенство

равносильно неравенству значит, множество решений неравенства есть промежуток . Если , то неравенство принимает вид т. е. оно не имеет решений, если и верно при любых если

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Пример. Решить неравенство

Решение. Раскрыв скобки, получим:

Далее имеем

По теореме 6.1 это неравенство равносильно заданному неравенству. Разделим теперь обе частн неравенства (1) на отрицательное число — 9 и изменим знак неравенства. Получим согласно теореме 6.3 неравенство, равносильное неравенству Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток .

177. Системы неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называется решением системы неравенств.

Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись означает» что неравенства образуют систему.

Иногда используется запись в виде двойного неравенства.

Например, систему неравенств можно записать в виде двойного неравенства .

Пример 1. Решить систему неравенств

Решение. Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство а второе — в неравенство Таким образом, задача сводится к решению системы

С помощью координатной прямой (рис. 78) находим, что множество решении системы есть интервал

Пример 2. Решить систему неравенств

Решение. Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим:

Значений удовлетворяющих одновременно неравенствам нет, значит, заданная система неравенств не имеет решений.

178. Совокупность неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупности если ставится задача найти все такие значения переменной,

каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств.

Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называется решением совокупности неравенств.

Пример. Решить совокупность неравенств

Решение. Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной: С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности служит промежуток (рис. 79).

179. Дробно-линейные неравенства.

Рассмотрим примеры решения неравенств.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее имеют одинаковые знаки, т. е. либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств:

Из первой находим

Из второй находим

В итоге получили следующие решения заданного неравенства:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Имеем последовательно

Умножим обе части неравенства на —1, изменив при этом знак неравенства (см. Т. 6.3, п. 174). Получим:

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях: 1) если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля; 2) если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Значит, мы получаем две системы неравенств:

Из первой находим

Из второй находим

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток

180. Неравенства второй степени.

Здесь речь идет о неравенствах вида , где

Если дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, а старший коэффициента положителен, то при всех значениях выполняется неравенство

Рассмотрим теперь случай, когда . Для решения неравенства нужно разложить квадратный трехчлен на множители по формуле (см. п. 56), затем разделить обе части неравенства на число а, сохранив знак неравенства, если и изменив знак неравенства на противоположный, если (см. п. 174), т. е. перейти к неравенству Теперь остается воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если сомножители имеют одинаковые (разные) знаки.

Пример 1. Решить неравенство . Решение. Найдем корни трехчлена Из уравнения получаем . Значит, и мы приходим к неравенству далее . Выражения и должны иметь одинаковые знаки, т. е.

Из первой системы находим, что а из второй, что .

Пример 2. Решить неравенство . Решение. Преобразуем неравенство к виду и, умножив обе части последнего неравенства на —1, получим Корни квадратного трехчлена таковы: Разложим трехчлен на множители, в результате чего получим неравенство и далее От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств:

Первая система не имеет решений, а из второй находим, что

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Квадратный трехчлен имеет два одинаковых корня: Значит, и неравенство принимает вид Это неравенство выполняется при всех кроме .

Пример 4. Решить неравенство

Решение. Последовательно имеем откуда

Из первой системы получаем из второй .

181. Графическое решение неравенств второй степени.

Графиком квадратичной функции является парабола с ветвями, направленными вверх, если и вниз, если . При этом возможны три случая: парабола пересекает ось е. уравнение имеет два различных корня), парабола имеет вершину на оси х (т. е. уравнение имеет однн корень), парабола не пересекает ось е. уравнение не имеет корней). Итого возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции относительно оси они представлены на рисунках 80—81. Опираясь на эти графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Уравнение имеет два корня: Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 80, а. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат выше осн это будет

при или при т. е. при или при

Значит, решения неравенства таковы: (см. пример 1 из п. 180).

Пример 2. Решить неравенство Решение. Уравнение имеет два корня: Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 80, а. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат на оси или ниже ее: это будет при из промежутка Значит, множество решении неравенства есть отрезок пример 2 из п. 180).

Пример 3. Решить неравенство Решение. Уравнение имеет один корень Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 81,6. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат выше оси Таких точек нет, значит, неравенство не имеет решений.

Пример 4. Решить неравенство Решение. Уравнение не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции имеет вид, изображенный на рисунке 81, в. Неравенство выполняется при тех значениях при которых точки параболы лежат ниже оси Поскольку вся парабола лежит ниже оси то неравенство выполняется при любых значениях х.

182. Неравенства с модулями.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используется определение модуля:

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой означает расстояние точки координатной прямой от начала отсчета О, а означает расстояние между точками a и b на координатной прямой (см. п. 27).

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме,

Если выражения при любых принимают только неотрицательные значения, то неравенста раввосилыиа.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так.

Пусть нужно решить неравенство

Так как при любых из области определения выражений справедливы соотношения то данное неравенство равносильно неравенству

Пример 1. Решить неравенство

Решение.

Первый способ. можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой (рис. 82) устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал

Второй способ. Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство Решая последнее неравенство, получим откуда находим, что - (см. п. 180 или п. 181).

Третий способ. По определению модуля числа

поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

Из первой системы получаем , из второй системы Объединив эти решения, получим промежуток

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Имеем . Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки которые удалены от точки —2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой (рис. 83) находим решения: —6;

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство равносильное данному. Преобразовав последнее неравенство, получим откуда находим:

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. Если то и, следовательно, неравенство примет вид Если же то и неравенство принимает вид Таким образом, данное неравенство можио заменить совокупностью двух систем: 1

Из первой системы находим , вторая система не имеет решений. Значит, множество решений неравенства — луч .

183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.

Решение рациональных неравенств вида (вместо знака может быть и любой другой знак неравенства), где многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим функцию где .

Если то каждый из сомножителей положителен, и, следовательно, на промежутке имеем Если то а остальные сомножители по-прежнему положительны. Значит, на интервале имеем Аналогично на интервале (b; с) будет и т. д. (рис. 84, а).

Изменение знаков функции удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 84, б). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство , на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо и для функции вида

где числа попарно различны. Изменение знаков функции мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Выполним преобразования левой части неравенства

и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство , равносильное данному.

Изменение знаков функции иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 85, а). Значения , при которых (заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:

Это решения исходного неравенства.

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Имеем

И далее

Начертим кривую знаков для функции (рис. 85, б). С ее помощью находим решения неравенства:

Пример 8. Решить неравенство .

Решение. Выражение обращается в нуль при и при при остальных значениях оно положительно. Значения

удовлетворяют данному нестрогому неравенству, т. е. являются его решениями. Пусть теперь , тогда , а потому, разделив обе части заданного неравенства на и сохранив знак заданного неравенства, получим неравенство — равносильное исходному (ем. п. 174). Полученное неравенство имеет следующие решения: . В ответ нужно включить и отмеченное выше решение

Показательные неравенства. При решении неравенств вид следует помнить, что показательная функция возрастает при и убывает при 0<а<1 (см. п. 94). Значит, в случае, когда , от неравенства следует переходить к неравенству того же смысла . В случае же, когда от неравенства следует переходить к неравенству противоположного смысла .

Пример 1. Решить неравенство

Решение. Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того нее смысла: Решив это неравенство, получим

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Так как то заданное неравенство можно записать в виде

Так как , то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла Имеем последовательно

Решив последнее неравенство (см. п. 183 или п. 180), получим

Таким образом множество решений заданного неравенства есть отрезок [2; 3].

185. Логарифмические неравенства.

При решении неравенств вида следует помнить, что логарифмическая функция возрастает при и убывает при (см. п. 96). Значит, в случае, когда от исходного неравенства следует переходить к неравенству того

же смысла . В случае же когда от исходного неравенства следует переходить к неравенству противоположного смысла . При этом следует учитывать, что логарифмическая функция определена лишь на множестве положительных чисел. Значит, должны выполняться неравенства . В итоге от неравенства мы переходим к системе неравенств

Заметим, что первую систему можио упростить: неравенство вытекает из неравенств поэтому неравенство можно опустить, т. е. переписать систему в виде

Аналогично вторую из написанных выше систем можно переписать в виде

Пример. 1. Решить неравенство .

Решение. Так как то данное неравенство можно переписать в виде Далее имеем;

откуда

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

Имеем последовательно:

С помощью координатной прямой (рис. 86) устанавливаем, что множество решений последней системы» а значит, и заданного неравенства есть промежуток (3; 8).

186. Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение: Если обе части неравенства на некотором множестве X принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства и решением неравенства неравенства (1) следует, что . Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Итак, неравенство равносильно системе неравенств

Рассмотрим теперь неравенство вида

Как и выше, заключаем, что но в отличие от предыдущего случая здесь может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: Получим совокупность систем

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство равносильно совокупности двух систем

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Это неравенство равносильно следующей системе Неравенств:

Решив систему, находим .

Пример 2. Решить неравенство .

Решение. Данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.

Решив первую систему, получим , из второй систе

получаем Объединив найденные решения, получим

187. Решение тригонометрических неравенств.

Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида где одна из тригонометрических функций.

Пример 1. Решить неравенство .

Решение. Построим график функции и выберем на оси значения аргумента которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси Одним из промежутков, содержащих такие точки оси является интервал а всего таких интервалов будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции каждый из них получается из Сдвигом по оси на , где Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида Это можно записать так:

Пример 2. Решить неравенство

Решение. Построим график функции и проведем прямую . Нас интересуют те значения аргумента которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой Одним из нужных нам промежутков является интервал (рис. 88). Воспользовавшись периодичностью функции запишем ответ:

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Построим график функции и проведем прямую Нас интересуют те значения которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой .

Одним на нужных нам промежутков является а всего таких промежутков будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции каждый получается из сдвигом по оси на где Это позволяет записать решение следующим образом:

188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы

неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем данное неравенство к виду Построим на координатной плоскости прямую Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше атой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства (рис. 90).

Пример 2. Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства .

Решение. Преобразуем неравенство к виду Построим на координатной плоскости параболу — график функции

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе и выше нее (рис. 91).

Пример 3. Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Решение. Геометрическим изображением решений системы неравенств является множество точек первого координатного угла (рис. 92, а). Геометрическим изображением решений неравенства или является множество точек, лежащих ниже прямой, служащей графиком функции (рис. 92, б). Наконец, геометрическим изображением решений неравенства или, поскольку неравенства является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции (рис. 92, в). В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции и выше гиперболы, служащей графиком функции (рис. 93).