ГЛАВА II. Прямые и плоскости в пространстве

§ 8. Аксиомы стереометрии и некоторые следствия из них

40. Основные понятия стереометрии.

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются точка, прямая и плоскость. На рисунке 116 изображены различные фигуры и

пространстве. Объединение нескольких геометрических фигур в пространстве есть тоже геометрическая фигура, на рисунке 117 фигура состоит из двух тетраэдров.

Плоскости обозначаются строчными греческими буквами:

На рисунке 118 изображены плоскость а, прямые и точки . Про точку А и прямую а говорят, что они лежат в плоскости а или принадлежат ей. Про точки В и С и прямую 6, что они не лежат в плоскости а или не принадлежат ей.

Введение основной геометрической фигуры — плоскости заставляет расширить систему аксиом. Перечислим аксиомы, которые выражают основные свойства плоскостей в пространстве. Эти аксиомы обозначены в пособии буквой С.

Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

На рисунке 118 точка А принадлежит плоскости а точки В и С не принадлежат ей.

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

На рисунке 110 две различные плоскости имеют общую точку А, а значит, по аксиоме существует прямая, принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если какая-либо точка принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит прямой а. Плоскости а и в этом случае называются пересекающимися по прямой а.

Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

На рисунке 120 изображены две различные прямые а и b, имеющие общую точку О, а значит, по аксиоме существует плоскость а, содержащая прямые а и b. При этом по той же аксиоме плоскость а единственная.

Эти три аксиомы дополняют рассмотренные в главе 1 аксиомы планиметрии. Все они вместе являются системой аксиом геометрии.

Пользуясь этими аксиомами, можно доказать несколько первых теорем стереометрии.

Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости

Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Пример 1. Дана плоскость а. Доказать, что существует прямая, не лежащая в плоскости а и пересекающая ее.

Решение. Возьмем в плоскости а точку А, что можно сделать по аксиоме . По той же аксиоме существует точка В, которая плоскости а не принадлежит. Через точки А и В можно провести прямую Прямая АВ не лежит в плоскости а и пересекает ее (в точке А).

Пример 2. Дана плоскость а. Доказать, что существует другая плоскость , пересекающая а.

Решение. Возьмем точки А и принадлежащие плоскости а, и точку С, не принадлежащую ей (аксиома ). Точки А, В и С не лежат на одной прямой. Через них по теореме 2.3 можно провести плоскость 0, и притом только одну. Плоскости а и имеют общую точку, а значит, по аксиоме плоскости пересекаются.

Замечание. Если допустить, что точка С лежит на прямой АВ, то по теореме 2.2 она будет лежать и в плоскости а, что противоречит выбору точки С.