4. Признаки делимости.

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа m на натуральное число можно ответить на вопрос: выполнимо деление на без остатка или нет? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью различных признаков делимости.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число (теорема о делимости суммы).

Не следует, однако, думать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4. Заметим, однако, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения).

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 105•48•93•54 делится на 5, так как 105 делится на 5.

Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 (признак делимости на 2).

Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5 (признак делимости на 5).

Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 (признак делимости на 10).

Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 4).

Доказательство проведем для пятизначного числа . Имеем Так как 100, 1000 и 10 000 делятся на 4, то делится на 4 и сумма Значит, если двузначное число делится на 4, то и делится на 4; если же не делится на 4, то и не делится на 4.

Например, число 15 436 делится на 4, так как число 36 делится на 4. Число 372 514 не делится на 4, так как 14 не делится на 4.

Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (признак делимости на 3).

Доказательство проведем для четырехзначного числа . Имеем

Числа 9, 99, 999 делятся на 3, поэтому делится на 3, и сумма будет делиться на 8 тогда и только тогда, когда делится на 3 сумма цифр

Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 сумма цифр этого числа Число 17 941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (признак делимости на 9).