Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА V. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР§ 19. Движение75. Примеры преобразований фигур.Преобразования фигур изучаются в курсе геометрии на плоскости и в пространстве. Если каждую точку данной фигуры на плоскости или в пространстве сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем несколько примеров преобразований фигур. 1. Симметрия относительно точки (центральная симметрия). Симметрия относительно точки определяется так. Пусть О — фиксированная точка и X — произвольная точка. Точка Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка плоскости. Преобразование фигуры F в фигуру На рисунке 205 изображены два куба, симметричные относительно точки О. Если преобразование симметрии относительно точки О переводит
фигуру в себя, то фигура называется центрально-симметричной, а точка О — ее центром симметрии. Например, параллелограмм является центрально-симметричной фигурой. Центром его симметрии является точка пересечения диагоналей (рис. 206, а). Окружность с центром О тоже центральносимметричная фигура с центром симметрии О (рис. 206, б). Все перечисленные фигуры плоские. В пространстве, так же как и на плоскости, много примеров центрально-симметричных фигур. Например, на рисунке 207 изображены такие фигуры: это куб, сфера, параллелепипед. 2. Симметрия относительно прямой (осевая симметрия). Пусть l — фиксированная прямая (рис. 208). Точка Преобразование фигуры F в
сительно прямой I. На рисунке 208, б изображены окружности, симметричные относительно прямой I. На рисунке 209 изображены две сферы, симметричные относительно прямой I. Если преобразование симметрии относительно прямой I переводит фигуру F в себя, то фигура называется симметричной относительно прямой I, а прямая I называется осью симметрии фигуры. Например, прямые, проходящие через точку пересечения диагоналей прямоугольника параллельно его сторонам, являются осями симметрии прямоугольника (рис. 210, а). Прямые, на которых лежат диагонали ромба, являются его осями симметрии (рис. 210, б). Окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр (рис. 210, в). Все эти фигуры плоские. В пространстве, как и на плоскости, много примеров фигур, имеющих оси симметрии. На рисунке 211 изображены такие фигуры: это прямоугольный параллелепипед, конус, правильная четырехугольная пирамида. 3. Симметрия относительно плоскости. Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точки X опускают перпендикуляр на плоскость а (О — точка пересечения его с плоскостью а) и на его продолжении за точку О
откладывают отрезок Преобразование фигуры F в На рисунке 213 изображены две сферы, симметричные относительно плоскости а. Если преобразование симметрии относительно плоскости переводит фигуру в себя, то фигура называется симметричной относительно плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии. На рисунке 214 изображены две плоскости симметрии сферы. Заметим, что у сферы таких плоскостей симметрии бесконечное множество. У куба также имеются плоскости симметрии. На рисунке 215 изображены две на них. 4. Гомотетия Пусть F — данная фигура и О — фиксированная точка (рис. 216). Проведем через произвольную точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок
центра О. Число k называется коэффициентом гомотетии. Фигуры На рисунке На рисунке 218 изображены две гомотетичные сферы с коэффициентом гомотетии 2. Пример. В данную правильную четырехугольную пирамиду вписать куб так, чтобы четыре его вершины лежали на ребрах, а четыре — на основании пирамиды. Решение. Проведем любое сечение
одного из оснований искомого куба. Вершины А, В, С, D другого основания получим, если через 76. Понятие движения. Свойства движений.Определение движения одинаково и в плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры F в фигуру Преобразование симметрии относительно точки является движением. Преобразование симметрии относительно прямой является движением.
Преобразование симметрии относительно плоскости является движением. Сформулируем некоторые свойства движения. При движении точки, лежащие на прямой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их взаимного расположения. Из теоремы 5.4 следует, что при движении прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки. При движении сохраняются углы между полупрямыми. При движении плоскость переходит в плоскость. Рассмотрим еще два движения — поворот на плоскости и вращение вокруг оси в пространстве. Поворотом на плоскости около данной точки называется такое движение, при котором каждый луч, исходящий из данной точки, поворачивается на одни и тот же угол в одном и том же направлении (по часовой стрелке или против часовой стрелки). На рисунке Вращением вокруг оси на угол 1) имеется единственная прямая I, все точки которой переходят сами в себя; 2) любая точка А, не принадлежащая I, переходит в такую точку а) точки б) Прямую I называют осью вращения, угол Неподвижными элементами вращения являются точки оси вращения, а также все плоскости, перпендикулярные этой оси. Если Симметрию относительно прямой можно рассматривать как частный случай вращения, когда Два движения, выполненные последовательно, дают снова движение. Результат выполнения этих движений называется композицией движений. На рисунке 222 Изображено последовательное выполнение двух движений, фигура Композиция двух вращений с одной и той же осью есть вращение. Пусть преобразование фигуры F в фигуру
Как на плоскости, так и в пространстве рассматриваются равные фигуры. Фигуры F и На рисунке 213 шары симметричны относительно плоскости, а значит, они равны. На рисунке 205 кубы симметричны относительно точки, а значит, они равны. На рисунке 222 треугольники Пример 1. На рисунке 223 изображены два треугольника ABC и Решение. Решение задачи зависит от расположения треугольников. 1) На рисунке 223, а изображен одим из возможных вариантов. 2) На рисунке 223, б изображен другой вариант. Пример 2. Даны две концентрические окружности. Построить ромб, отличный от квадрата, так, чтобы: 1) две вершины его принадлежали одной окружности, а две оставшиеся — другой; 2) три вершины принадлежали одной окружности, а одна — другой.
Решение. 1) Построим любой диаметр АВ одной окружности и перпендикулярный ему диаметр CD другой окружности (рис. 224, а). Диагонали полученного четырехугольника CBDA в точке пересечения делятся пополам, значит, CBDA — параллелограмм (п. 25). Из симметрии отрезков АС и ВС относительно оси CD следует равенство сторон параллелограмма, т. е. CBDA — ромб (п. 26). 2) Диаметр АВ меньшей окружности продолжим до пересечения в точке С с большей окружностью. Построим оси симметрии отрезков АС и ВС (рис. 224, б). Мы получим два ромба, удовлетворяющие условию задачи: Аналогично можно в первом случае построить еще один ромб, а во втором — еще два. Пример 3. Даны плоскость а и две точки А к В вне ее. Найдите на плоскости а такую точку Решение. Если точки А к В расположены по разные стороны от плоскости а, то очевидно, что искомая точка N —
точка пересечения прямой АВ с плоскостью а (рис. 225, а). Если же точки А к В расположены по одну сторону от плоскости а (рис. 225, б), то искомая точка N получится при пересечении прямой Таким образом, приходим к выводу, что сумма
|
1 |
Оглавление
|