§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

124. Тригонометрические выражения.

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим. Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций, отмеченные в п. 100—105 и формулы тригонометрии, указанные в п. 125—131.

125. Формулы сложения и вычитания аргументов.

Для любых действительных чисел а и справедливы формулы:

Формула (5) верна при отличных от Формула (6) верна при , отличных от

Пример 1. Вычислить

Решение. Имеем Воспользовавшись формулой (3) при поиучнм:

Известно, что (см. п. 98). Значит,

Итак,

Пример 2. Упростить выражение

Решение. Воспользуемся для формулами (3) и (1) и учтем, что

Получим

Пример 3. Вычислить

Решение. Имеем Воспользовавшись формулой (2) при получим:

Пример 4. Найти если

Решение. Воспользуемся формулой (5) и учтем, что

Имеем

126. Формулы приведения.

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида к функции аргумента а.

Пусть, например, нужно вычислить Имеем:

Аналогично

Подобным же образом выводятся и остальные формулы приведения, эти формулы даны в следующей таблице:

127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Если в формуле (2) из п. 125 положить то получим:

откуда, в свою очередь, находим, что

Тождество (2) справедливо при а тождество (3) — при .

Равенства (1), (2), (3) связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Известны еще два равенства, связывающие между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Это

Перемножая эти равенства, получаем равенство

справедливое при .

Пример 1. Известно, что причем

Найти .

Решение. Из формулы (1) получаем Подставив вместо его значение, получим:

Итак, значит, либо либо .

По условию , т. е. аргумент t принадлежит III четверти. Но в III четверти косинус отрицателен, значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну: Зная находим

Итак,

Пример 2. Известно, что причем . Найти

Решение. Из формулы (3) находим

Подставив вместо его значение, получим:

Итак, Значит, либо либо

По условию Значит, t принадлежит II четверти, а во II четверти синус положителен. Поэтому из Двух указанных возможностей выбираем одну:

Для отыскания значения воспользуемся определением котангенса: Из этого равенства находим:

Осталось вычислить значение Из равенства находим, что

Итак,

128. Формулы двойного угла.

Если в формулах (3), (1), (5) из п. 125 положить то получим следующие тождества:

С помощью формул (1), (2) и (3) можно выразить синус, косинус, тангенс любого аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента. Например, справедливы следующие равенства:

В ряде случаев полезным оказывается использование полученных формул «справа налево», т. е. замена выражения выражением выражения выражением -2 выражения выражением и, наконец, выражения выражением

Пример. Упростить выражение

129. Формулы понижения степени.

Зная, что , находим, что

Аналогично находим, что

Формулы (1) и (2) называются формулами понижения степени. Они позволяют преобразовывать в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента. Например, используя формулы (1) и (2), можем получить следующие равенства:

Формулы используются и «справа налево для преобразования сумм в произведения. Например, верны следующие равенства:

Пример 1. Доказать тождество

Решение. Знаменатель правой части преобразуем но формуле (1), а числитель — по формуле синуса двойного угла

Пример 2. Вычислить если известно» что

Решение. Воспользовавшись тем, что применим формулы понижения степени.

Получим

130. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Имеют место следующие формулы:

Пример 1. Преобразовать в произведение .

Решение. Применив формулу разности косинусов при , получим:

Поскольку то окончательно получим:

Пример 2. Преобразовать в произведение

Решение. Имеем

131. Преобразование произведения тригонометрических функции в сумму.

Справедливы следующие формулы:

Пример. Преобразовать в сумму произведение

Решение. Воспользовавшись формулой (1) при а получим:

132. Преобразование выражения ... к виду ...

Любое выражение вида можно представить в виде Для этого вынесем за скобки выражение и получим:

Но Это значит, что точка с координатами

лежит на единичной окружности, поэтому существует такое что

Обозначив для краткости через А, получаем:

Применив к выражению в скобках формулу (3) из п. 125, получим:

Числа a, b, A, а связаны друг с другом соотношениями

Например, где

133. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример 1. Упростить выражение где .

Решение. Положим . Тогда Нужно найти .

Известно, что , значит, Но а на отрезке косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому

Пример 2. Вычислить Решение. Положим Тогда

Нужно вычислить

Имеем значит, Так как, далее, то откуда

По условию значит, а в интервале имеем Итак,

Пример 3 Доказать, что для любого из справедливо тождество

Решение. Вычислим значение синуса левой и правой части проверяемого равенства:

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что и принадлежат одному и тому же промежутку монотонности функции проверки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значений аргумента, например, но

Имеем а поэтому . Итак, принадлежат одному промежутку монотонности функции Теперь можно считать, что тождество (1) доказано.

Аналогично можно доказать, что