ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

§ 14. Уравнения с одной переменной

134. Определение уравнения. Корни уравнения.

Равенство с переменной называется уравнением с одной переменной Всякое значение переменной, при котором выражения: принимают равные числовые значения назыг вается корнем уравнения. Решите, уравнение — это значит найти его корни; или доказать, что их нет.

Пример 1. Уравнение имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной верное равенство.

Пример 2. Уравнение имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3. Уравнение не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение имеет два мнимых корня: . Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

135. Равносильность уравнений.

Уравнения, имеющие одни и те же кории, называются равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения ни одно из них не имеет корней.

Уравнения неравносильны, так как первое имеет только один корень тогда как второе имеет два корня:

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то нее отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение равносильно уравнению (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

136. Линейные уравнения.

Линейным уравнением с одной переменной называют уравнение вида где а и b — действительные числа; а называют коэффициентом при переменной, b — свободным членом.

Для линейного уравнения могут представиться три случая:

1) ; в этом случае корень уравнения равен

2) ; в этом случае уравнение принимает вид , что верно при любом , т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3) ; в этом случае уравнение принимает вид оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. По теореме 5.1 (п. 135) данное уравнение равносильно уравнению . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при , то по теореме 5.2 получим равносильное данному уравнение . Итак, корень уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей , получим:

и далее

137. Квадратные уравнения.

Уравнение вида

где а, b, с — действительные числа, причем , называют квадратным уравнением. то квадратное уравнение называют приведенным; если то неприведенным. Числа а, b, с носят следующие названия: а — первый коэффициент, b — второй коэффициент, с — свободный член.

Корни уравнения находят по формуле

Выражение называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если то уравнение (1) не имеет действительных корней; если , то уравнение имеет один действительный корень; если 0, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение можно переписать формулу (2) в виде

Если то формула (2) принимает вид:

Итак,

Формула (3) особенно удобна в тех случаях, когда - целое число, т. е. коэффициент b — четное число.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Здесь Имеем Так как то уравнение имеет два корня, которые мы найдем по формуле (2):

Итак, - корни заданного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение . Решение. Здесь По формуле (3)

находим корень уравнения.

Пример 3. Решить уравнение Решение. Здесь Находим дискриминант Так как то уравнение не имеет действительных корней.

138. Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении второй коэффициент b или свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1. Решить уравнение

Репение. Имеем Значит. либо Итак, уравнение имеет два корне:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Разделив обе части уравнения на 3, получим т. е. Значит, либо откуда откуда

Итак, уравнение имеет два корня:

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Поскольку при любых то уравнение не имеет корней.

139. Теорема Виета.

Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна а произведение равно т. е.

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Выведем еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения

Найдем квадрате» жорней:

Воспользовавшись формулами (1), получим:

Рассмотрим сумму кубах корней. Имеем:

Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим:

Справедлива теорема, обратная теореме Виета.

Если числа таковы, что то корни квадратного уравнения

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней. Пример 1. Решить уравнение

Решение. Попробуем найти два числа такие, что

Такими числами являются 2 и 7. По теореме 5.4. они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Попробуем найти такие два числа чтобы выполнялись равенства

Нетрудно заметить, что такими числами будут — 7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

140. Системы и совокупности уравнении.

Рассмотрим уравнение

Ясно, что а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения а затем найти их общие корил. Корнями уравнения служат числа а корнями уравнения числа

Общим является число корень исходного уравнения.

В случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим заданным уравнениям, говорят, что задана система уравнений. Для обозначения системы используется фигурная скобка:

Рассмотрим теперь уравнение Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю. Поэтому сначала надо решить уравнения , а затем объединить их корни. Корнями первого уравнения являются числа 1 и корнями второго — числа . Значит, 1, —1, 2, —2 — корни исходного уравнения.

Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Для обозначения совокупности иногда используется квадратная скобка:

141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Модуль числа а определяется следующим образом (см. п. 26).

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Если то либо либо . Это значит, что заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: За: Из уравнения находим из уравнения находим

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Если , то и данное уравнение примет вид Это можно записать так:

Из уравнения находим . Однако при этом значении переменной неравенство не выполняется,

значит, найденное значение не может быть корнем данного уравнения.

Если , то и данное уравнение примет вид Это можно записать так:

Из уравнения находим . Неравенство верно, значит, - корень данного уравнения.

Ответ:

Уравнение вида можно решать и геометрически (см. п. 26).

142. Понятие следствия уравнения.

Посторонние корни. Пусть даны два уравнения

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называется следствием уравнения (1). Заметим, что равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но, кроме них, уравнение-следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения, это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением-следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в следствие.

Рассмотрим уравнение

и умножим обе его части на одно и то же выражение имеющее смысл при всех значениях Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение не имеет корней.

Итак, если обе части уравнения умножить на выражение имеющее смысл при любых значениях получится уравнение, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение будет равносильно исходному, если уравнение не имеет корней. Заметим, что обратное преобразование, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) путем деления обеих частей уравнения (4) на выражение , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере решений (в этом случае могут «потеряться корни уравнения Например, уравнение имеет два корня: 3 и 4. Деление же обеих частей уравнения на приводит к уравнению имеющему только один корень 4, т. е. произошла потеря корне.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения т. е. уравнение (б) — следствие уравнения (8).

Например, уравнение имеет корень 4. Если обе части уравнения возвести в квадрат, то получится уравнение , имеющее два корня: Значит, уравнение следствие уравнения При переходе от уравнения к уравнению появился посторонний корень

Итак, при возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного. Значит, при указанном преобразовании возможно появление посторонних корней. Заметим, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к уравнению, равносильному данному.

143. Уравнения с переменной в знаменателе.

Рассмотрим уравнение вида

Решение уравнения вида (1) основано на следующем утверждении: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее

числитель равен нулю» а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!). Записывают это так:

В соответствии со сказанным решение уравнения проводится в два этапа: сначала нужно решить уравнение а затем для каждого корня выяснить, обращается ли при найденном значении переменной знаменатель в нуль. Если то найденный корень уравнения является и корнем уравнения (1); если то полученный корень уравнения не является корнем уравнения (1).

Таким образом, уравнение является следствием (см. п. 142) уравнения При переходе от уравнения к уравнению (этот переход называется освобождением от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Отсеять их можно с помощью условия с помощью непосредственной подстановки каждого корня уравнения в уравнение .

Пример. Решить уравнение .

Решение. Из уравнения находим Так как при знаменатель обращается в нуль, то заданное уравнение не нмеет корней.

144. Область определения уравнения.

Областью определения уравнения называют множество всех тех значений переменной при которых и выражение и выражение имеют смысл.

Пример. Найти область определения уравнения:

Решение, а) Выражения определены при всех X. Значит, область определения уравнения — вся числовая прямая.

б) Выражение не определено при а выражение определено при Значит, область определения уравнения можно задать условиями:

в) Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия: Все эти неравенства справедливы при область определения уравнения.

г) Логарифм имеет смысл лишь в случае положительного числа под знаком логарифма. Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: откуда откуда . Итак, (3; 5) — область определения уравнения.

Ясно, что корни уравнения должны принадлежать его области определения. Но иногда бывает так, что в процессе преобразований уравнения его область определения меняется (чаще всего она расширяется) и из найденных в итоге всех преобразований значений переменной одни значения принадлежат области определения уравнения а другие не принадлежат. Тогда первые являются корнями уравнения, а вторые нет (это посторонние корни).

Так, при решении уравнения область определения которого задается условием мы перешли к уравнению областью определения которого является вся числовая прямая (область определения расширилась). Уравнение имеет корень который не принадлежит области определения исходного уравнения и, следовательно, является посторонним корнем.

Общий вывод таков: если в процессе преобразований уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни. Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения исходного уравнения.

Пример. Решить уравнение

Решение. Если то в силу монотонности логарифмической функции например, то и а именно Значит, от заданного уравнения можно перейти к уравнению

откуда находим Но при переходе от уравнения к уравнению (2) область определения расширилась: в уравнении

(1) она задается неравенством тогда как для уравнения

(2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (X). В данном случае именно это и происходит, поскольку не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлет

воряет неравенству Итак, посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

145. Рациональные уравнения.

Уравнение называется рациональным, если рациональные выражения. При этом если целые выражения, то уравнение называется целым; если же хотя бы одно из выражений является дробным, то рациональное уравнение называется дробным.

Например, целыми являются линейные квадратные уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1) найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2) заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3) решить полученное целое уравнение;

4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример. Решить уравнение

Решение. Общим знаменателем имеющихся дробей является Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Из уравнения находим п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни в нуль выражение т. е. проверить выполнение условия Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, единственный корень уравнения.

146. Решение уравнения p(х)=0 методом разложения его левой части на множители.

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение где многочлен степени . Предположим, что нам удалось разложить многочлен на множители: где многочлены более низкой степени, чем . Тогда уравнение принимает вид Если — корень уравнения то а потому хотя бы одно из чисел равно нулю.

Значит, а — корень хотя бы одного та уравнений

Верно и обратное: если корень хотя бы одного из уравнений , то b — корень уравнения т. е. уравнения

Итак, если где многочлены, то вместо уравнения нужно решить совокупность уравнений . Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения .

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем откуда Значит, либо либо Из первого уравнения находим второе уравнение не имеет корней. Ответ: — 2.

Метод разложения на множители применйм к любым уравнениям вида где необязательно многочлен; пусть во среди выражений есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений могут быть посторонние для уравнения

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Имеем значит, либо либо На уравнения находим из уравнения находим

Но не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

147. Решение уравнений методом введения новой переменной.

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Положив получим уравнение откуда находим Тетерь задача сводится к решению совокупности уравнений

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим Это действительные корни заданного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Положим тогда и уравнение примет вид

Решив это уравнение (см. п. 145), получим и .

Но Значит, нам остается решить уравнения

или

Из первого уравнения находим второго уравнения получаем

Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

148. Биквадратные уравнения.

Биквадратным называется уравнение вида где Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив придем к квадратному уравнению

Пример. Решить уравнение Решение. Положив получим квадратное уравнение откуда находим Теперь задача сводится к решению уравнений Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим которые являются корнями заданного биквадратного уравнения.

149. Решение задач с помощыо составления уравнений.

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и многих других прикладных наук. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1) Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2) С помощью введенных племенных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3) Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4) Если буквами обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений иаходят ответ на вопрос задачи.

Задача 1. Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение. Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить — тонн груза, а на самом деле грузило тонн груза, что на меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Это уравнение имеет два корня: —24 и 20. Ясно, что по смыслу задачи — 24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2. Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение. Пусть километров в час — скорость течения реки. Тогда лодка, обладающая собственной скоростью 20 км/ч, идет по течению со скоростью километров в час, а против течения со скоростью километров в час. Время, затраченное на путь по течению, составит а время, затраченное на обратный путь, составит часов. Так как на путь туда и обратно затрачено мин, т. е. приходим к уравнению

решая которое, находим два корня: Ясно, что

значение не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3. Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение. Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде где цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию если цифра десятков, то цифра единиц равна , и мы получаем

Решив это уравнение, иаходим Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4. Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение. Прежде чем решать эту задачу (или другие аналогичные задачи «на работу»), заметим следующее: производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через взаимно обратные величины, т. е. Поэтому если обозначить через часов время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через часов — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за равна а часть работы, выполняемая вторым за равна Согласно условию они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Часть работы, выполненная за первым рабочим, есть а часть работы, выполненная за вторым рабочим, есть Поскольку вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, то мы получаем уравнение

решив которое иайдем

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за а второй — за

Задача 5. Из сосуда емкостью наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение. Пусть в первый раз было вылито литров кислоты. Тогда в сосуде осталось литров кислоты. Долив сосуд водой, получили смеси, в которой растворилось (54 литров кислоты. Значит, в смеси содержится литров кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили литров смеси, в этом количестве смеси содержалось литров кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито литров кислоты, во второй литров кислоты, а всего за два раза вылито литров кислоты. В результате приходим к уравнению

Решив это уравнение, найдем два корня: Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи. Итак, в первый раз было вылито кислоты.

Задача 6. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение. Пусть масса добавленного олова составляет килограммов. Тогда получится сплав массой килограммов, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется килограммов меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было 0,4512 кг. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то приходим к уравнению

Решив это уравнение, получим Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля

Решение. Пусть масса стали первого сорта равна тонн, тогда стали второго сорта надо взять тоан. Содержание никеля в стали первого сорта составляет значит, в X тоннах стали первого сорта содержится 0,05 тонн никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет значит, в тоннах стали второго сорта содержится 0,4 (140-x) тонн никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть никеля. Но это количество никеля складывается из тонн, содержащихся в стали первого сорта, и из тонн, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

из которого находим . Следовательно, надо взять 40 т стали с и 100 т стали с 40%-ным содержанием никеля.

150. Иррациональные уравнения.

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональными являются уравнения

Рассмотрим два метода решения иррациональных уравнений: метод всеведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень и метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

б) возводят обе части полученного уравнения в степень:

в) учитывая, что получают уравнение

г) решают уравнение и делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Возведем обе части уравнения в шестую степень, получим откуда

Проверка. Подставив 67 вместо в данное уравнение, получим верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2. Решить уравнение Решение. Преобразуем уравнение к виду

и возведем обе части его в квадрат. Получим:

далее

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

откуда

Проверка. 1) При имеем:

Таким образом, является корнем заданного уравнения.

2) . Таким образом, посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3. Решить уравнение Решение. Применим метод введения новой переменной. 1 1 Положим Тогда и мы получаем уравнение откуда находим Теперь задача свелась к решению двух уравнений: Возведя обе части уравнения в пятую степень, получим откуда

Уравнение не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

151. Показательные уравнения.

Показательное уравнение вида

где равносильно уравнению

Имеются два основных метода решения показательных уравнений: 1) метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду а затем к виду метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Данное уравнение равносильно уравнению откуда находим Решив это квадратное уравнение, получим

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Приведем все степени к одному основанию

Получим уравнение которое преобразуем к виду

Полученное уравнение равносильно уравнению откуда находим

Пример 3. Решить уравнение Решение. Применим метод введения новой переменной. Так как то данное уравнение можно переписать в виде

Введем новую переменную, положив Получим квадратное уравнение с корнями Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения находим, что Второе уравнение не имеет корней, так как при любых значениях Ответ: 2.

152. Логарифмические уравнения.

Простейшее логарифмическое уравнение имеет вид:

Чтобы решить уравнение нужно:

1) решить уравнение

2) из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам остальные корни уравнения

являются посторонними для уравнения .

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений: 1) метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду затем к виду метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Перейдем от заданного уравнения к уравнению и решим его. Имеем откуда Проверку найденных значений выполним с помощью неравенств . Число —3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: —3.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

и далее

Из последнего уравнения находим Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Подставив поочередно найденные значения в эти неравенства, убеждаемся, что —1 удовлетворяет всем неравенствам, нет, — например, при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, посторонний корень.

Ответ: — 1.

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Так как то заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Введем новую переменную, положив . Подучим далее Но поэтому из уравнения находим

Ответ: 4.

153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Область определения уравнения: . В этой области выражения, входящие в обе части уравнения принимают только положительные значения; поэтому, прологарифмировав обе его частя по основанию получим уравнение

равносильное уравнению (1). Далее имеем .

Полагая получим уравнение откуда . Остается решить совокупность уравнений Из этой совокупности получим уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения к уравнению

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Полагая получим уравнение корни которого

Теперь задача сводится к решению следующей совокупности уравнений: . Так как , а , то первое уравнение совокупности не имеет решения. Прологарифмировав обе части второго уравнения совокупности по основанию 5, подучим:

откуда находим корни уравнения (2).

154. Простейшее тригонометрические уравнения.

Уравнение где имеет бесконечно много корней. Например, уравнению удовлетворяют следующие значения: и т. д. Общая формула, по которой находятся все корни уравнения где такова:

Здесь может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения) называют параметром. Записывают обычно подчеркивая тем самым, что параметр может принимать любые целые значения.

Решения уравнения где находят по формуле

Уравнение решается по формуле

а уравнение по формуле

Пример 1. Решить уравнение

Решение. По формуле (1) имеем:

Так как (см. п. 106), то окончательно получаем

Пример 2. Решить уравнение Решение. Воспользовавшись формулой (2), получим:

Так как (см. п. 107), то получаем

Пример 3. Решить уравнение

Решение. Воспользовавшись формулой (3), получим:

откуда находим:

Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

Во всех формулах — любое целое число.

155. Методы решения тригонометрических уравнений.

Имеются два основных метода решения тригонометрических уравнений: 1) метод разложения на множители; 2) метод введения новой переменной.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Перенесем 1 в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители.

Применим к формулу для суммы синусов и воспользуемся тем, что Тогда уравнение примет вид и далее Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений:

Из уравнения находим

Из уравнения находим и далее так как

Таким образом, решение заданного уравнения таково:

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Так как то уравнение можно переписать следующим образом:

и далее

Положив получим квадратное уравнение

Решая это уравнение, находим

Значит, либо откуда находим либо это уравнение не имеет решений, так как

Ответ:

Метод введения новой переменной полезен при решении так называемых однородных уравнений, т. е. уравнений вида a (однородное уравнение 1-й степени), а (однородное уравнение 2-й степени).

Рассмотрим случай, когда . Разделим обе части первого уравнения на , а обе часта второго уравнения на . В результате получим следующие уравнения, алгебраические относительно , а потому решаемые подстановкой

При однородному уравнению не удовлетворяют те значения при которых . Поэтому деление на обеих частей однородного уравнения в случае не приводит к потере Кореей.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Разделив обе часта уравнения почленно на , получим . Далее имеем откуда

Пример 4. Решить уравнение

Решение. Разделив обе части этого однородного уравнения второй степени на получим . Далее положим тогда приходим к квадратному уравнению откуда .

Решив совокупность уравнений получим

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Имеем:

В полученном уравнении отсутствует член вида . Здесь делить обе части уравнения на нельзя, так как те значения X, при которых удовлетворяют уравнению (1), а потому деление на приведет к потере корней. Поступим иначе: разложив левую часть уравнения (1) на множители, получим

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Из первого уравнения совокупности (2) находим Разделив обе части однородного уравнения первой степени на , имеем откуда

Итак, получаем две серии решений:

156. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).

Если , то справедливы следующие тождества:

В самом деле, имеем:

Итак, рационально выражаются через поэтому подстановка и называется универсальной. Она может быть использована в уравнении вида где рациональное выражение относительно

Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при то нужно проверять, не являются ли числа вида решениями заданного уравнения. Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выражая через по формулам (1) и полагая придем к рациональному уравнению

Решив это уравнение, получим Из уравнения находим:

Проверкой убеждаемся, что значения не удовлетворяют заданному уравнению. Итак, получаем ответ:

Пример 2. Решить уравнение . Решение. Воспользуемся универсальной подстановкой. Выражая через и полагая получим рациональное уравнение

откуда Из уравнения находим

Однако нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения при которых , т. е. значения Имеем:

Проверка показывает, что значения являются решениями уравнения. Итак, заданное уравнение имеет следующие решения:

157. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений).

Иногда при решении тригонометрических уравнений оказывается полезным заменить выражение а на где (см. п. 132). В этом случае называют вспомогательным аргументом.

Пример 1. Решить уравнение Решение. Разделив обе части уравнения на получим:

то такое что

Перепишем последнее уравнение следующим образом:

Но . Значит; , откуда . Так как , то окончательно получаем следующие решения заданного уравнения: —

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Имеем:

Полагая получим:

и далее

Решая совокупность уравнений получим Учитывая, что в итоге получаем следующие решения заданного уравнения:

158. Графическое решение уравнений.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения строят график функции и находят абсциссы точек пересечения графика с осью эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения достаточно построить график квадратичной функции и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью х.

Например, график функции пересекает ось в точках (1; 0) и (5; 0), значит, уравнение имеет два корня: и 2—5, График

функции не пересекает ось абсцисс, значит, уравнение не имеет действительных корней.

Часто уравнение заменяют равносильным затем строят графики функций это проще, чем построение графика функции и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так, для решения уравнения можно преобразовать уравнение к виду затем построить графики функций и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 1. Решить графически уравнение

Решение. Уравнение целесообразно переписать в виде

Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций (рис. 68, а, б).

На рисунке 68, в построены в одной системе координат графики функций Определяем абсциссы точек А и В пересечения зтих графиков: Таким образом, заданное уравнение имеет два корня: —1; 2.

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Построим в одной системе координат графики функций График функции изображен на рисунке 69, а. Чтобы построить график функции рассмотрим два случая: если то и потому если же то и потому . Таким образом, запись эквивалентна записи

График этой функции изображен на рисунке 69, б. На рисунке 69, в оба графика изображены в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках с абсциссами Это два корня данного уравнения.

С графическим методом решения уравнения связан функциональный метод решения уравнения, основанный том, если одна на функций возрастает, а другая убывает, то уравнение либо не имеет корней (рис. 70, с), либо имеет единственный корень (рис. 70, б).

Пример 3. Решить уравнение

Решение, Легко заметить, что корень уравнения. Так как функция возрастает, а функция убывает, то других корней это уравнение не имеет (рис. 71).

159. Уравнения с параметром.

Пусть дано равенство с переменными

Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение

называется уравнением с переменной и параметром а.

Решить уравнение с параметром — это значит для каждого значения а найти значения удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при X (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются . При уравнение принимает вид . Это уравнение не имеет корней. При данное уравнение принимает вид корнем его служит любое действительное число. При уравнение можно преобразовать к виду откуда находим

Таким образом, если то уравнение не имеет корней; если то корием служит любое действительное число;

если , то

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Выделим особо значение параметра Дело в том, что при данное уравнение не является квадратным, а при оно квадратное. Значит, решать его в каждом из этих случаев надо по своему. При уравнение принимает вид откуда находим . В

случае для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем . Значит, - значение параметра, на которое нам надо обратить внимание.

Если то , и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если то и мы получаем:

если , то и мы получаем т. е.

Итак, если то действительных корней нет; если

Пример 3. При каких значениях параметра о уравнение

имеет два различных отрицательных корня?

Решение. Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня его дискриминант должен быть положительным. Имеем:

Значит, должно выполняться неравенство По теореме Виета имеем:

Поскольку по условию и то

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183): ; из второго: ; из третьего: . С помощью координатной прямой (рис. 72) находим, что либо либо