§ 20. Предел функции

203. Предел функции у=f(x) при x->оо.

Горизонтальная асимптота. Число b называется пределом функции при стремлении если, какое бы число ни взять, найдется число такое, что для всех выполняется неравенство . Пишут: .

Геометрически это означает, что график функции при выборе достаточно больших значений безгранично приближается к прямой , т. е. расстояние от точки графика до прямой по мере удаления точки в бесконечность может быть сделано меньше любого числа Прямая называется в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции y=f{x).

Возьмем для примера функцию Для этой функции имеем . Замечаем, что» чем больше выбирается значение аргумента, тем меньше отличается от нуля значение функции, причем это

отличие можно сделать меньше любого наперед заданного положительного числа е. Значит, . Это подтверждается и геометрически: прямая является горизонтальной асимптотой графика функции (Рис Прямая может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при выборе достаточно больших по модулю, но отрицательных значений аргумента (рис. 97). Тогда говорят, что число b является пределом функции при стремлении и пишут: Например,

Наконец, прямая может быть горизонтальной асимптотой графика функции и при и при . Так, прямая горизонтальная асимптота графика функции . В этом случае говорят, что число b является пределом функции при стремлении к и пишут: . Так, верны равенства

Число b называется пределом функции при стремлении

если, какое бы число ни взять, найдется число такое, что для всех выполняется неравенство

Число b называется пределом функции при стремлении бы число ни взять, найдется число такое, что для всех таких, что выполняется неравенство .

Зная предел функции при можно построить горизонтальную асимптоту графика (если предел равен 6, то горизонтальная асимптота); обратно: если известна горизонтальная асимптота графика функции, можно сделать вывод о ее пределе при — горизонтальная асимптота, то

204. Вычисление пределов функций при х->оо.

Для вычисления пределов функций при используются следующие теоремы об операциях над пределами:

Пример 1. Вычислить

Решение. Разделив числитель и знаменатель почленно на , получим и далее

Так как (см. п. 203), то, воспользовавшись теоремами , получим .

Итак,

Пример 2. Найти горизонтальную асимптоту графика функции при .

Решение. Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо вычислить предел функции при . Имеем

Значит, горизонтальная асимптота графика функции .

205. Предел функции в точке. Непрерывные функции.

Рассмотрим функции графики которых изображены на рисунке 100. Это разные функции, они отличаются своим поведением в точке Если же то Во всех трех случаях замечаем, что, чем ближе , тем меньше отличается значение функции или или от числа b — это отличие характеризуется выражением соответственно . Для любой из рассматриваемых функций говорят, что предел функции при стремлении к а равен b; пишут соответственно:

Подчеркнем еще раз, что при этом значение функции в самой точке а (и даже сам факт существования или несуществования этого значения) не принимается во внимание.

Определение формулируется так: число b называется пределом функции при стремлении к а, если, какое бы число ни взять, для всех достаточно близких к а значений , т. е. для всех из некоторой окрестности точки с, исключая, быть может, саму эту точку, будет выполняться неравенство

Вернемся еще раз к рисунку 100. Замечаем, что для функции график которой изображен на рисунке 100, а, выполняется равенство Если то функция называется непрерывной в точке а.

Если функция непрерывна в каждой точке интервала , то она называется непрерывной на этом интервале. Если функция непрерывна на интервале определена в точках с и b и при стремлении точки интервала к точкам а и b значения функции стремятся соответственно к значениям то функция называется непрерывной на отрезке

206. Вертикальная асимптота.

График функции изображенный на рисунке 101, а, обладает следующей особенностью: какое бы число ни взять, Можно указать такую окрестность точки а, что для любого из этой окрестности соответствующая ордината графика по модулю будет больше , т. е. . Говорят, что прямая является вертикальной асимптотой графика функции и пишут: Например, график функции имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту у=0 (рис. 101, б); график функции имеет вертикальную асимптоту в); график функции имеет вертикальные асимптоты и т. д.

Если и в точке а функции непрерывны, причемр , то вертикальная асимптота графика функции

Например, график функции имеет две вертикальные асимптоты: при указанных значениях знаменатель обращается в нуль.

207. Вычисление пределов функции в точке.

Для вычисления пределов функций в точке основными являются следующие факты:

1) любая элементарная функция, т. е. функция, заданная аналитически рациональным (см. п. 48), иррациональным (см. п. 48), трансцендентным (см. п. 118) выражением или выражением, составленным из перечисленных с помощью конечного числа арифметических операций, непрерывна в любой внутренней точке области определения функции (т. е. в любой точке, принадлежащей области определения функции вместе с некоторой своей окрестностью); если внутренняя точка области определения сложной функции то и сложная функция непрерывна в точке ;

2) если функция непрерывна в точке то

Пример 1. Вычислить .

Решение. Точка внутренняя точка области определения функции значит, функция непрерывна

в этой точке. Имеем Значит, Пример 2. Вычислить

Решение. Функция непрерывна в точке . Имеем:

Значит,

Пример 3. Вычислить

Решение. Функция не определена в точке так как в этой точке знаменатель дроби обращается в нуль. Поскольку числитель отличен от нуля в точке , то пишут: (см. п. 206); прямая является вертикальной асимптотой графика функции

Пример 4. Вычислить

Решение. Здесь в отличие от предыдущего примера и числитель, и знаменатель обращаются в 0 при . В подобных случаях для вычисления предела необходимы тождественные преобразования выражения, задающего функцию.

Имеем Поскольку при значение функции в самой точке не принимается во внимание (см. п. 205), дробь можно сократить на получим . Итак,

Пример 5. Вычислить

Решение. При и числитель, и знаменатель обращаются

в нуль. Выполним следующие преобразования заданного выражения:

Итак,