§ 20. Подобие фигур

77. Преобразование подобия.

Определение преобразования подобия одинаково и на плоскости, и в пространстве. Преобразование фигуры в фигуру называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Это значит, что если произвольные точки А и В фигуры F при этом преобразовании переходят в точки фигуры то где .

Число к называется коэффициентом подобия При преобразование подобия является движением.

Гомотетия есть преобразование подобия.

Рассмотри свойства преобразования подобия.

1. При преобразовании подобия три точки А, В и С, лежащие на одной прямой, переходят в три точки Ли также лежащие на одной прямой. Причем если точка В лежит между точками А и С, то точка лежит между точками

2. Преобразование подобия переводит прямые в прямые, полупрямые в полупрямые, отрезки в отрезки, плоскости в плоскости.

3. Преобразование подобия сохраняет углы между полупрямыми.

4. Не всякое преобразование подобия является гомотетией.

На рисунке 226 фигура получена из фигуры F гомотетией, а фигура получена из фигуры симметрией относительно прямой . Преобразование фигуры F в F? есть преобразование подобия, так как при нем сохраняются отношения расстояний между соответствующими точками, однако это преобразование не является гомотетией.

Для гомотетии в пространстве верна теорема:

Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость или в себя.

На рисунке 227 изображены два гомотетичных куба с коэффициентом гомотетии, равным 2. По плоскость ABCD переходит в параллельную ей плоскость АВСТУ. Это же можно сказать и о плоскостях других граней куба.

78. Подобные фигуры.

Две фигуры F и называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозначения подобия фигур употребляется символ . Запись читается так: «Фигура подобна фигуре F».

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных многоугольников соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

В записи предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит в — в

Для подобных треугольников верны равенства

Два треугольника подобны, если соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Сформулируем признаки подобия треугольников.

Два треугольника подобны, если:

1) два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2) две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3) стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Пример. Дан , в котором Найти зависимость между сторонами а, b и с этого треугольника.

Решение. Проведем . Тогда внешний угол , т. е. а значит, по двум углам (Т.5.7). Из подобия треугольников следует откуда Из по теореме Пифагора откуда