95. Обратная функция. График обратной функции.

Сравним две функции их графики изображены на рисунке 34. Обе они определены на отрезке и имеют областью своих значений отрезок Первая функция обладает следующим свойством: для любого из отрезка есть только одно значение из отрезка такое, что Геометрически указанное выше свойство означает следующее: любая горизонтальная прямая, пересекающая ось У между точками пересекает график функции только в одной точке. Вторая функция этим свойством не обладает: например, для значения прямая пересекает график функции в трех точках. Значит, в первом случае при каждом фиксированном из отрезка уравнение имеет только один корень а во втором случае при некоторых у, например, при уравнение имеет более одного корня.

Если функция такова, что для любого ее значения

уравнение имеет относительно единственный корень, то говорят, что функция f обратима.

Так, функция график которой изображен на рисунке 34, а, обратима, а функция график которой изображен на рисунке 34, б, необратима.

Если функция обратима, то, выразив из формулы и поменяв затем местами, получим обратную функцию.

Обратимся еще раз к рисунку 34. Сравнивая графики функций замечаем, что возрастающая функция (и у нее есть обратная функция), тогда как функция не является ни возрастающей, ни убывающей (и у нее нет обратной функции). Возрастание или убывание функции обеспечивает существование обратной функции.

Если функция определена и возрастает (или убывает) на промежутке X и областью ее значений является промежуток У. то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (или убывает) на

Пример. Доказать, что у функции есть обратная, и найтн ее.

Решение. Функция возрастает на всей числовой прямой, значит, у нее есть обратная функция. Чтобы найти обратную функцию, надо из формулы выразить

Получим Поменяв и у местами, получим Это и есть искомая обратная функция.

Если точка принадлежит графику функции то точка принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции с помощью преобразования плоскости переводящего

точку в точку (х; у). Этим преобразованием является симметрия относительно прямой

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции надо график функции подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой (рис. 35, а).

Например, если где — натуральное, то . Поменяв х и у местами, получим Графики двух взаимно обратных функций симметричны относительно прямой