§ 15. Площади поверхностей тел

62. Площади поверхностей многогранников.

Площадью поверхности многогранника называется сумма площадей всех его граней (иногда говорят площадь полной поверхности).

Для некоторых многогранников, например для пирамиды, призмы, рассматривается площадь боковой поверхности.

Площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей боковых граней. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей ее боковой поверхности и площадей ее оснований. Площадь боковой поверхности призмы, изображенной на рисунке 147, равна сумме площадей параллелограммов Площадь полной поверхности этой призмы равна площади боковой поверхности плюс сумма площадей двух оснований

Площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы, т. е. на длину бокового ребра.

Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра перпендикулярного сечения на длину бокового ребра.

Из этих теорем вытекает, что площадь полной поверхности куба с ребром а равна .

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей ее боковых граней. Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей ее боковой поверхности и площади основания. Площадь боковой поверхности пирамиды, изображенной на рисунке 150, б, равна сумме площадей трех треугольников SAC, SCB, SBA. Площадь полной ее поверхности состоит из боковой поверхности и площади основания ABC.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему, т. е. где — периметр основания, а l - апофема пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров основания на апофему, т. е. , где периметры основания, апофема.

Площадь поверхности правильного тетраэдра с ребром а равна а, например, площадь поверхности октаэдра с ребром а равна

Пример. Все ребра правильной пирамиды увеличились в 3 раза. Как изменится площадь полной поверхности пирамиды?

Решение. Пусть площадь полной поверхности -угольной пирамиды S равна где площадь одной боковой грани, а SOCB — площадь основания. При увеличении каждого ребра в 3 раза правильный многоугольник основания перейдет в подобный, а каждый из треугольников (по признаку подобия) перейдет в подобный, т. е. отсюда Площадь полной поверхности пирамиды увеличится в 9 раз.

63. Понятие площади поверхности.

Пусть F — данная поверхность. Построим тело F, состоящее из всех точек пространства, для которых найдется точка поверхности F на расстоянии, не большем h. Наглядно тело F» можно представить себе как тело, заполненное краской при окрашивании поверхности с обеих сторон слоем краски толщиной .

Пусть объем тела . Площадью поверхности тела мы будем называть предел отношения при , т. е.

64. Площади поверхностей тел вращения.

Воспользовавшись данным в предыдущем пункте определением площади поверхности, можно получить формулы, по которым вычисляются площади поверхностей различных тел вращения. Площадь сферы находится по формуле

где Н — радиус сферы.

Площадь поверхности сферического сегмента находится по формуле

где Н — радиус сферы, высота сегмента.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле

где Н — радиус основания цилиндра, его высота. Для нахождения площади полной поверхности цилиндра надо к площади боковой поверхности прибавить удвоенную площадь основания.

Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле

где R — радиус основания конуса, его образующая. Для нахождения площади полкой поверхности конуса нужно к площади его боковой поверхности прибавить площадь основания.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса находится по формуле

где соответственно радиусы оснований, его образующая.

Пример 1. В конус, радиус основания которого R и высота Н, вписан цилиндр. Найдите размеры цилиндра, при которых площадь его боковой поверхности имеет наибольшее значение.

Решение. Обозначим радиус основания цилиндра через , а его высоту через h (рис. 187). Из подобия и

следует, откуда . Подставив в формулу значение h, получим

Рассмотрим как функцию и исследуем ее на экстремум. Для этого найдем ее производную

Очевидно, при В этой точке функция имеет максимум. Итак, наибольшее значение площадь боковой поверхности цилиндра принимает при а