§ 21. Производная и ее применения

208. Приращение аргумента. Приращение функции.

Пусть функция определена в точках Разность называется приращением аргумента, а разность приращением функции при переходе от значения аргумента к значению аргумента . Приращение аргумента обозначают значит, . Приращение функции обозначают или ; значит,

Пример 1. Найти приращение функции при переходе от значения аргумента к значению

Решение. Имеем . Значит,

Итак, . По этой формуле можно вычислять значение для любых заданных Например, при имеем:

при получаем

Пример 2. Доказать, что для линейной функции справедливо равенство

Решение. Имеем Значит, откуда получаем что и требовалось доказать.

Геометрический смысл доказанного равенства проиллюстрирован на рисунке 103.

209. Определение производной.

Пусть функция определена в точке и в некоторой окрестности этой точки. Пусть приращение аргумента, причем такое, что точка принадлежит указанной окрестности точки соответствующее приращение функции, т. е.

. Если существует предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии» что , то функция называется дифференцируемой в точке а этот предел называется значением производной функции в точке и обозначается или у. Итак,

- это новая функция, определенная во всех таких точках в которых существует указанный выше предел; эту функцию называют производной функции

Пример 1. Найти , если

Решение. Имеем

Тогда

Значит

Опираясь на определение, можно рекомендовать следующий плаи отыскания производной функции

Фиксируем значение находим

Даем аргументу приращение находим

Вычисляем приращение функции

Составляем отношение

Находим предел отношения при

Пример 2. Найти производную функции

Решение.

Итак, .

210. Формулы дифференцирования. Таблица производных.

Операцию отыскания производной называют дифференцированием. В п. 209 получена одиа из формул дифференцирования; По такому же плану можно вывести остальные формулы, которые приведены ниже.

Например,

211. Дифференцирование суммы, произведения, частного.

Если функции u и v дифференцируемы в точке

1°. Их сумма дифференцируема в точке (теорема о дифференцировании суммы);

2°. Функция , где С — постоянная, дифференцируема в точке х и (теорема о вынесении постоянного множителя за знак производной);

3°. Произведение функций u и v дифференцируемо в точке и о дифференцировании произведения);

4°. Частное функций дифференцируемо в точке если и

(теорема о дифференцировании частного).

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Воспользовавшись теоремами 1° и 2°, получим:

Осталось применить соответствующие формулы дифференцирования (см. п. 210). Получим

Итак,

Пример 2. Найти

Решение. Воспользовавшись теоремой о дифференцировании произведения, получим

Осталось применить соответствующие формулы дифференцирования (см. п. 210). Получим

Итак,

Пример 3. Вычислить , если

Решение. Сначала найдем Воспользовавшись теоремой о дифференцировании частного, получим и далее

Теперь вычислим Имеем:

212. Сложная функция и ее дифференцирование.

Рассмотрим функцию Чтобы найтн значение этой функции

в фиксированной точке нужно: 1) вычислить найти значение синуса при полученном значении Иными словами, сначала надо найти значение функции а потом найти В подобных случаях говорят, что задана сложная функция . В нашем примере . Рассмотрим еще два примера.

Пример 1. Составить сложную функцию если

Решение,

Пример 2. Из каких функций составлена сложная функция

Решение. Эта функция состоит из трех функций:

В самом деле,

Пусть сложная функция, причем функция дифференцируема в точке а функция дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция дифференцируема в точке причем

Запись означает, что производная вычисляется по формуле для но вместо подставляется

Пример 3. Найти

Решение. Здесь

Значит,

Пример 4. Найти

Решение. Так как то

213. Физический смысл производной.

Если закон прямолинейного движения, то выражает скорость движения в момент времени f, т. е. (мгновенная скорость).

Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью Тогда скорость падения в момент t такова:

Вообще производная функции в точке выражает скорость изменения функции в точке т. е. скорость

протекания процесса, описываемого зависимостью . В этом состоит физический смысл производной. Например, для функции имеем при имеем а при имеем Это значит, что в точке функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке в 6 раз быстрее.

214. Вторая производная и ее физический смысл.

Пусть функция имеет производную Это новая функция, которая, в свою очередь, может иметь производную. Производная функции называется второй производной функции и обозначается или

Пример 1. Найти если

Решение. Имеем Итак,

Пусть закон прямолинейного движения. Тогда вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, т. е. ускорение . В этом состоит физический смысл второй производной.

Пример 2. Материальная точка движется прямолинейно по закону Доказать, что сила, действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути.

Решение. По второму закону Ныотоиа где F — сила, действующая на тело, а — ускорение, масса; Имеем

Значит, т. e. сила F пропорциональна коэффициент пропорциональности).

215. Касательная к графику функции.

Касательной к графику функции дифференцируемой в точке называется прямая, проходящая через точку и имеющая угловой коэффициент Геометрический смысл этого определения состоит в следующем. Рассмотрим график функции дифференцируемой в точке о, выделим на нем точку и проведем секущую где точка графика, соответствующая значению аргумента . Угловой коэффициент прямой вычисляется по формуле

Если точку Р двигать по графику, приближая ее к точке М, то прямая МР начнет поворачиваться вокруг точки М. Чаще всего в этом процессе секущая МР стремится занять некоторое предельное положение. Это предельное положение представляет собой прямую, с которой практически сливается график функции в некоторой окрестности точки о; эта прямая и есть касательная к графику функции в точке . В самом деле, угловой коэффициент такой предельной прямой (обозначим его k) получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от Р к

Но условие можно заменить условием а вместо написать . В итоге получаем:

Но значение производной функции в фиксированной точке , т. е. (см. п. 209).

Итак, т. е. значение производной функции в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке х (рис. 104, б). В этом состоит геометрический смысл производной.

Если функция дифференцируема в точке то в этой точке к графику можно провести касательную; верно и обратное: если в точке к графику функции можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке

Это позволяет по графику функции находить точки, в которых функция имеет или не имеет производную. Так, функция, график которой изображен на рисунке 105, дифференцируема во всех точках, кроме точки в этой точке график имеет заострение и касательную провести нельзя.

Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Пример 1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке

Решение. Имеем Подставив найденные значения и в уравнение (1), получим:

Пример 2. Найти угол, который образует с осью касательная к графику функции проведенная в точке

Решение. Имеем . Значит, откуда заключаем, что искомый угол а равен 60°.

Пример 3. К графику функции провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой .

Решение. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны (рис. 106). Угловой коэффициент заданной прямой равен —1, а угловой коэффициент касательной равен . Значит, точку касания мы можем найти из уравнения .

Имеем

Решим уравнение. Имеем , значит, либо откуда либо , откуда .

Если , то и уравнение касательной имеет вид

Если , то и уравнение касательной имеет вид

Пример 4. Через точку провести касательную к графику функции

Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, неизвестна точка касания Чтобы ее найти, составим уравнение касательной в общем виде. Имеем значит, уравнение касательной имеет вид:

По условию касательная должна проходить через точку координаты точки должны удовлетворять уравнению (2). Подставив в уравнение (2), получим откуда

Бели теперь в уравнение (2) подставить найденное значение точки касания получим

Это — уравнение искомой касательной (рис. 107).

216. Применение производной к исследованию функций на монотонность.

Производная позволяет во многих случаях сравнительно просто исследовать функцию на монотонность. Достигается это с помощью следующих двух теорем:

Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную причем равенство выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция возрастает на промежутке X.

Пусть функция определена и непрерывна в промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неположительную производную , причем равенство выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция убывает на промежутке X.

Пример 1. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Имеем Справедливо неравенство причем знак равенства имеет место лишь одной точке Значит, по теореме 7.1 функция возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Имеем Так как то при всех Значит, по теореме 7.2 функция убывает на всей числовой прямой.

Пример 3. Исследовать на монотонность функцию

Решение. Имеем

Знаки выражения меняются так, как показано на рисунке 108 (см. п. 183). Но область определения исследуемой функции задается неравенством . Значит, из показанных на рисунке четырех промежутков нас интересуют только два: промежуток (2; 3) — на нем значит, функция на этом интервале убывает — и промежуток — на нем значит, функция на этом промежутке возрастает.

217. Применение производной к исследованию функций на экстремум.

Говорят, что функция имеет максимум (минимум) в точке если у этой точки существует окрестность, в которой Для

Так, функция, график которой изображен на рисунке 109, имеет максимум в точках и минимум в точках .

Точки максимума и минимума объединяются общим термином — точки экстремума.

Обратимся еще раз к рисунку 109. Замечаем, что в точках к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные будут параллельны оси а значит, угловой коэффициент каждой из касательных равен нулю; итак, . В точках же к графику касательной провести нельзя, значит, в этих точках производная функции не существует (см. п. 215). Таким образом, в точках экстремума на рисунке 109 производная либо равна нулю, либо

не существует. Это — общее положение, подтверждаемое следующей теоремой:

Если функция имеет экстремум в точке то либо либо не существует (необходимое условие? экстремума).

Точки, в которых или не существует и которые принадлежат области определения функции, называются критическими. Теорема 7.3 означает, что экстремумы функций могут достигаться только в критических точках. Обратная теорема, однако, неверна: не во всякой критической точке функция имеет экстремум. Так, функция имеет одну критическую точку этой точке в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Функция, график которой изображен на рисунке 110, имеет критическую точку это точка излома, в у не существует, но в этой точке нет ни максимума, ни минимума.

Как узнать, когда критическая точка функции является точкой экстремума? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Пусть критическая точка функции и пусть существует интервал (b; с), содержащий точку а внутри себя и такой, что на каждом из интервалов и производная существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1) если на производная , а на производная то точка максимума функции

2) если на (b; а) производная , а на производная , то точка минимума функции

3) если и на (b; а), и на производная или 0, то не является точкой экстремума функции (достаточное условие экстремума).

Из теорем 7.3 и 7.4 вытекает следующее правило исследования функции на экстремум:

1) Найти область определения функции.

2) Найти

3) Найти точки, в которых выполняется равенство

4) Найти точки, в которых не существует.

5) Отметить на координатной прямой все критические точки и область определения функции получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции сохраняет постоянный знак.

6) Определить знак у на каждом из промежутков, полученных в п. 5.

7) Сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из критических точек в соответствии с теоремой 7.4.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Функция определена при всех

2)

3) Из уравнения находим

4) у существует при всех

5) Отметим точки на координатной прямой (ряс. 111).

6) . Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 111.

7) При переходе через точку слева направо производная у меняет знак с на значит, точка максимума; при переходе через точку производная меняет знак с на значит, точка минимума. В точке имеем в точке имеем

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Область определения функции задается неравенством .

3) В области определения функции, т. е. при критических точек и тем более точек экстремума у функции нет.

Пример 3. Исследовать на экстремум функцию

Решение. 1) Область определения:

4) у не существует при но эта точка не принадлежит области определения функции.

5) Отметим на координатной прямой критические точки и точку (рис. 112).

6) Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 112.

7) - точка максимума, точка минимума,

218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Говорят, что функция определенная на промежутке X, достигает на нем своего наибольшего (наименьшего) значения, если существует точка с, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из X выполняется неравенство

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах (рис. 113). Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума; впрочем, для практики достаточно того, что эта точка критическая.

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функция на отрезке .

1) Найти

2) Найти точки, в которых или не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка

3) Вычислить значения функции в точках, подученных в п. 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее

и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции на отрезке которые можно обозначить так:

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке

Решение. 1)

2) у существует при всех Найдем точки, в которых Имеем:

Отрезку [0; 6] принадлежит лишь точка

Вычислим значения функции в точках 0, 5, 6.

Наибольшим из найденных значений функции является число 225, наименьшим — число 50. Итак,

219. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.

Задача отыскания наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке, например на интервале не всегда имеет решение. Так, на рисунке 114 изображены графики непрерывных на функций. Функция достигает и наибольшего, и наименьшего значений, функция

достигает наибольшего значения, а наименьшего значения на у нее нет, у функции на нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Если поставлена задача найти Для непрерывной на функции , то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка [а; b] (см. п. 218). Отличне: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Пример. Найти наименьшее значение функции на интервале .

Решение. 1) Найдем производную данной функции:

2) y = 0, если или Но второе уравнение не имеет решений, так как а из первого находим (см. п. 154). Из этих значений интервалу принадлежит лишь значение

Производная у не существует, если . Но на это уравнение не имеет решений.

Итак, внутри интервала ) функция имеет лишь одну критическую точку

При приближении к концам интервала, т. е. при или при знаменатель дроби — стремится к 0, а числитель соответственно к 9 или к 1. Значит, и в том и в другом случае (см. п. 206).

Поскольку при приближении к концам интервала значения функции неограниченно увеличиваются, наименьшее значение функция достигает в единственной критической точке, т. е. в точке . Итак, .

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на промежутке полезны два утверждения:

1°. Если функция имеет в промежутке X только одну точку экстремума причем это точка максимума, то наибольшее значение функции на промежутке X.

2°. Если функция имеет в промежутке X только одну точку экстремума причем это точка минимума, то наименьшее значение функции на промежутке X.

Так, в рассмотренном выше примере функция имела в интервале лишь одну критическую точку При переходе через эту точку знаки производной меняются с на Значит, — точка минимума, а потому наименьшее значение функции на интервале .

220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величии удобно решать по следующему плану:

1) Выявляют оптимизируемую величину (т. е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется иаити) и обозначают ее буквой у (или и т. д. в зависимости от сюжета задачи).

2) Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. д.) объявляют независимой переменной и обозначают буквой устанавливают реальные границы изменения в соответствии с условиями задачи.

3) Исходя из конкретных условий данной задачи выражают у через и известные величины.

4) Для полученной на предыдущем этапе функции иаходят наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от требований задачи) по промежутку реального изменения найденному в п. 2.

5) Интерпретируют результат п. 4 для данной конкретной задачи.

На первых трех этапах составляется, как принято говорить, математическая модель задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Важно, чтобы было сравнительно нетрудно выразить у через На четвертом этапе составленная математическая модель исследуется

чаще всего с помощью производной, реже элементарным способом. В момент такого исследования сюжет самой задачи, послужившей отправной точкой для математической модели, исследователя не интересует. И лишь когда закончится решение задачи в рамках составленной математической модели, полученный результат интерпретируется для исходной задачи (пятый этап).

Пример 1. В степи, в 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки, лежащей на шоссе, находится райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи едет со скоростью а по шоссе

Решение. Сделаем чертеж. На рисунке 115 точка Р означает местонахождение поисковой партии, прямая I — шоссе, В — райцентр, км, км, РМВ — маршрут следования курьера, причем положение точки М между пока неизвестно.

1) Оптимизируемая величина — время t движения курьера из Р в В; надо найти

2) Положим По смыслу задачи точка М может занять любое положение между А и В, не исключая самих точек А и В. Значит, реальные границы изменения таковы:

3) Выразим t через Имеем РМ Этот путь велосипедист едет со скоростью т. е. время затраченное на этот путь, выражается формулой Далее, Этот путь велосипедист едет

со скоростью т. е. время затраченное на этот путь, выражается формулой . Суммарное время , затраченное на весь путь, равно

Нужно найти наименьшее значение функции отрезке [0; 15]. Используем для этого план из п. 218.

2. существует при всех Найдем точки, в которых Имеем

Значение принадлежит отрезку [0; 15].

3) Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной критической точке.

Четвертый этап решения задачи закончен, нам осталось интерпретировать полученный результат применительно к исходной задаче.

5) достигается при . Значит, велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, чтобы расстояние между точками А и М по шоссе было равно 12 км.

Пример 2. Через фиксированную точку М внутри угла провести прямую, отсекающую от угла треугольник наименьшей площади (рис. 116).

Решение.

1) Оптимизируемая величина — площадь S треугольника АОВ.

2) Проведем . Положим реальные границы изменения таковы:

Поскольку М — фиксированная точка, отрезки DM и КМ тоже фиксированны; положим и выразим S через .

Рассмотрим треугольники они подобны, значит Отсюда находим

Далее имеем , где

Значит, (математическая модель задачи составлена).

4) Рассмотрим функцию , где

Найдем ее наименьшее значение.

2. Производная не существует в точке а обращается в нуль в точках Из этих трех точек промежутку принадлежит лишь точка

И при и при Значит, наименьшее значение функции достигается в точке

Вернемся к исходной геометрической задаче. Если то, поскольку МК — средняя линия треугольника значит, М — середина А В. Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку М прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.

221. Применение производной для доказательства тождеств.

Доказательство тождеств с помощью производной основано на следующей теореме:

Для того чтобы непрерывная на промежутке X функция была постоянна на этом промежутке, необходимо и достаточно, чтобы ее производная во всех внутренних точках промежутка была равна нулю (условие постоянства функции).

Пример. Доказать тождество

Решение. Рассмотрим функцию иайдем ее производную.

Имеем Значит, при всех х, а потому постоянная функция, Осталось найти значение постоянной С. Для этого достаточно вычислить значение при любом значении например при Имеем:

Итак, , а потому Значит, справедливо тождество

222. Применение производной для доказательства неравенств.

Пример 1. Доказать, что при справедливо неравенство

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную: Замечаем, что на интервале (0; 1) производная значит, функция убывает на этом интервале (см. п. 216). Поэтому, в частности, при справедливо неравенство . Но

Итак, что и требовалось доказать.

Пример 2. Доказать, что если , то .

Решение. Рассмотрим функцию и найдем ее производную Замечаем, что , т. е.

функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, из а вытекает .

Пример 3. Доказать, что при всех справедливо неравенство

Решение. Рассмотрим функцию и исследуем ее на экстремум. Имеем:

при . Других критических точек у функции нет (уравнение не имеет корней). при при значит, минимума функции. Поскольку других точек экстремума у данной непрерывной функции нет, то f — наименьшее значение функции (см. утверждение 2° из п. 219). Но

Итак, .

223. Общая схема построения графика функции.

Пусть нужно построить график функции Для этого нужно рассмотреть некоторые свойства функции, что обычно сопровождается соответствующей иллюстрацией на координатной плоскости. Это помогает создать графический образ функции и обратно: графические представления помогают лучше понять свойства функции, а иногда и предвидеть . Для этого полезно придерживаться следующего плана:

1) Найти область определения функции

2) Найти точки, в которых будут точки пересечения графика с осью абсцисс).

3) Отметить на оси точки, найденные в п. 2, и точки, в которых функция не определена, найденные в п. 1; эти точки разбивают ось абсцисс на несколько промежутков, на каждом которых функция сохраняет постоянный знак. Установить знак функции на каждом из промежутков.

4) Исследовать функцию на четность и нечетность (в случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графика при а затем воспользоваться симметрией графика — см. п. 74, 75).

5) Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты (см. п. 203, 206).

6) Исследовать функцию на экстремумы.

7) Найти несколько дополнительных контрольных точек и построить график.

Для периодических функций полезно с самого начала найти основной период Т (см. п. 76), с тем чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графика на промежутке построить затем, воспользовавшись периодичностью, весь график.

Если выполнение каких-либо шагов предложенной схемы сопряжено с техническими трудностями, иногда можно опустить.

Пример. Построить график функции .

Решение. 1) Функция определена при всех

2) Из уравнения находим

3) Точки разбивают ось абсцисс на 4 промежутка. Изменение знаков функции на промежутках отражено на рисунке 117. Соответствующая иллюстрация на координатной плоскости представлена на рисунке 118, а (заштрихованы те полуполосы, где графика не будет).

4) значит, функция нечетна, ее график симметричен относительно начала координат.

5) Асимптот у графика нет.

Точка принадлежит отрезку из рисунка 118, с ясно, что в этой точке функция будет иметь минимум (здесь мы как раз имеем тот случай, когда графические представления позволяют сделать вывод о свойствах функции).

Аналогично в точке функция имеет максимум:

7) В качестве дополнительных возьмем две точки Имеем

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 118, б).

Пример 2. Построить график функции

Решение. 1) Область определения:

2) Из уравнения 0 находим

3) Точки 2, —2, 3, —3 разбивают ось абсцисс на 5 промежутков. Изменение знаков функции по промежуткам представлено на рисунке 119, соответствующая иллюстрация на координатной плоскости дана на рисунке 120, а,

4) Функция четна, так как Значит, график функции симметричен относительно оси ординат.

5) вертикальные асимптоты (см. п. 206).

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислим Для этого числитель и знаменатель дроби разделим почленно на (см. п. 204).

Получим

Итак, значит, — горизонтальная асимптота графика функции (см. п. 203).

Производная обращается в нуль в точке и не существует в точках Но эти последние не принадлежат области определения функции, значит, функция имеет лишь одну критическую точку При переходе через эту точку производная меняет знак с на значит, минимума:

Б качестве дополнительных возьмем следующие Имеем

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 120, б)