§ 11. Преобразования графиков

110. Построение графика функции y = mf(x).

Решим несколько задач.

Задача 1. Построить график функции где если задан график функции

Решение. Ординаты точек графика функции получаются умножением на соответствующих ординат точек графика функции Такое преобразование графика функции называется его растяжением от оси с коэффициентом если и сжатием к оси если

Задача 2. Построить график функции если задан график функции

Решение. При одном и том же значении ординаты точек графика функции и функции отличаются только знаком. Значит, график функции можно получить из графика преобразованием симметрии последнего относительно оси х (рис. 52, с).

На рисунке 52, б изображены графики функций

Задача 3. Построить график функции где если задан график функции

Решение. Так как то график функции может быть получен при помощи растяжения

(сжатия) графика функции от оси с коэффициентом и последующим преобразованием симметрии относительно оси задачи 1 и 2).

На рисунке 53, а изображены графики функций

На рисунке 53, б изображены графики функций

111. Графики функции ...

Графиком функции является парабола, Чтобы построить график функции нужно осуществить растяжение (сжатие) параболы от оси с коэффициентом при этом если то график функции нужно еще подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х (см. п. 110).

На рисуике 54, а изображены графики функции для с, равного Все эти графики называют параболами. При 0 ветви параболы, служащей графиком функции направлены вверх, а при вниз.

Аналогично, зная график функция можно построить график функции вида . На рисунке 54, б изображены эти графики для случаев с, равного 1; —1; 3.

112. Построение графика функции ...

Пусть известен график функции а построить нужно график функции

Положим . Тогда формулу или, что то же самое, можно переписать в виде . Таким образом, график функции - построенный в координатной плоскости совпадает с графиком функции , построенным в координатной плоскости

Формулы или, что то же самое, надают параллельный перенос, при котором любая точка переходит в точку и, в частности, начало координат переходит в точку .

Чтобы построить график функции нужно:

1) выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат точку

2) в плоскости построить график фушщии

Пример. Построить график функции Решение. 1) Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку

В плоскости построим график функции Это и есть требуемый график (рис. 55).

На рисунке 56, а изображены графики функций а на рисунке 56, б — графики функций

113. График квадратичной функции.

Квадратичной называют функцию, которую можно задать формулой вида где a, b, с — любые действительные числа, причем . Для построения графика этой функции выполним следующие преобразования (называемые «выделением полного квадрата квадратного трехчлена

Для построения графика функции нужно (см. п. 112) выполнить параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку и в плоскости построить параболу —

график функции Прямая называется осью симметрии параболы, служащей графиком квадратичной функции , а точка точка пересечения параболы с ее осью симметрии — называется вершиной параболы.

Если то ветви параболы, служащей графиком функции направлены вверх (рис. 57, а); в этом случае функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке . Если то ветви параболы направлены вниз (рис. 57, б); в этом случае функция возрастает на промежутке и убывает на промежутке

Пример. Построить график функции Решение. Имеем

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку и построим в координатной плоскости параболу — график функции

Это и есть график функции

114. Способы построения графика квадратичной функции.

Графиком функции где является парабола

(см. п. 113), Для ее построения на практике используются три способа.

Первый способ — отыскание координат вершины параболы по формулам.

Пример 1. Построить график функции Решение. Здесь . Значит, Итак, (1; —1) — вершина параболы. Для построения графика надо знать координаты еще нескольких точек:

Отметив вершину параболы, полученные точки и точки, симметричные им относительно оси параболы, строим требуемый график (рис. 59, а). Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если абсцисса вершины параболы, то в этой точке (см. п. 217). На уравнения находим абсцисса вершины параболы.

Второй способ — построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена .

Пример 2. Построить график функции .

Решение, Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение Имеем:

Итак, мы нашли две точки графика и . Отметим их на координатной плоскости (рис. 59, б). Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы: Подставив значение формулу получим Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты Отметив на координатной плоскости точку построим параболу, проходящую через три точки

А, В, С. Это и будет график функции (рис. 59, б). (Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.)

Третий способ — построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть корни квадратного трехчлена решении уравнения см. п. 137). Тогда парабола, служащая графиком функции пересекает ось абсцисс в точках , а ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Зная абсциссу вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии параболы, поэтому , найдем по формуле ординату, а затем построим параболу по трем точкам А, В, С.

Пример 3. Построить график функции

Решение. Из уравнения находим Значит, мы знаем две точки искомой параболы: Уравнение оси симметрии параболы таково: Подставив значение 3 вместо в формулу находим Значит, вершиной параболы служит точка По трем точкам строим параболу — график функции ).

115. Построение графика функции y=f(kx).

Решим несколько задач.

Задача 1. Построить график функции где если задан график функции

Решение. Ордината графика функции в точке равна ординате графика функции в точке Это значит, что график функции получается из графика функции сжатием с коэффициентом k к оси (если 0).

На рисунке 60 изображены графики функций на рисунке 61 — графики функций и

Задача 2. Зная график функции построить график функции

Решение. Ордината графика функции в точке равна ординате графика функции в точке Это значит, что график функции может быть получен из графика функции преобразованием симметрии последнего относительно оси у.

На рисунке 62 изображены графики функций

Задача 3. Зная график функции построить график функции где .

Решение. Имеем . Поэтому график функции может быть получен сжатием графика функции с коэффициентом к оси у и симметрией полученного графика относительно оси у.

На рисунке 63 изображены графики функций .

116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.

Здесь речь идет о построении графиков функции вида

Вообще говоря, построение графика функции осуществляется в три этапа: 1) строят график функции - sin х (см. п. 102); 2) строят график функции sin kx (см. п. 115); 3) строят график функции (см. п. 110). Аналогично обстоит дело с другими тригонометрическими функциями.

На практике обычно при построении графика функции выполняют растяжение и сжатие Для одной полуволны графика функции , а затем строят весь график. При построении графика функции выполняют растяжение и сжатие для одной ветви графика функции а затем строят весь график.

Пример. Построить график функции

Решение. Построим одну полуволну графика функции . Осуществив ее сжатие к оси у с коэффициентом 2, получим график функции Теперь осуществим растяжение

полученного графика от оси с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси . В результате мы получим график функции . На рисунке 64, а показана одна полуволна графика, а на рисунке 64, б — весь график.

117. График гармонического колебания.

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

Эта формула называется формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величина А называется амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величина называется частотой колебания. Чем больше , тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Наконец, а называется начальной фазой колебания. 21

Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, величина тока меняется по закону гармонических колебаний (1).

Построим график функции Прежде всего преобразуем функцию к виду Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы в точку .

2) В системе построим график функции этом можно ограничиться одной полуволной).

3) Осуществив сжатие построенного графика к оси у с коэффициентом 6), получим график

Осуществив растяжение последнего графика от оси с коэффициентом А, получим требуемый график.

Пример 1. Построить график функции

Решение. Имеем Построение графика выполним в несколько этапов.

1) Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку .

В системе нам нужно построить график функции

2) Строим график функции

3) Выполним сжатие графика к оси у с коэффициентом т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции

4) Осуществим растяжение последнего графика от оси с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции (рис. 65).

На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее наименьшее значения. Далее строят график по точкам.

Пример 2. Построить график гармонического колебания

Решение. Решим сначала уравнение

Имеем (см. п. 154) . Дадим

параметру k два значения: 0 и 1. При имеем при имеем Значит, точки и служат концами одной полуволны искомой синусоиды. Далее, серединой отрезка является точка в которой функция - принимает максимальное значение, равное трем. Значит, — точка максимума (см. п. 217). Отмечаем на координатной плоскости точки и строим полуволну искомого графика (рис. 66, а). После этого строим график заданного гармонического колебания (рис. 66, б).