§ 2. Рациональные числа

9. Обыкновенные дроби.

Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа. Обыкновенная дробь — это число вида где — натуральные числа, например Число называется числителем дроби, — знаменателем. В частности, может быть в этом случае дробь имеет вид но чаще пишут просто . Это означает, что всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Запись — другой вариант записи

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь — такова, что кратно и, например ).

Пример. Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби:

Решение,

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо пишут а вместо пишут . Число, записанное в таком виде, называется смешанным числом. Оно состоит из двух частей: целой и дробной. Так, для числа 3 целая часть равна 3, а дробная Всякую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Верно и обратное: всякое смешанное или натуральное число можно записать в виде неправильной дроби. Например,

10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Две дроби и считаются равными, если . Например, равными будут дроби и — (так как (так как ).

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби и так как а здесь мы используем сочетательное и переместительное свойства умножения натуральных чисел (см. п. 2). Значит, т. е. если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на

одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Это свойство называется основным свойством дроби.

Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби. Например, (числитель и знаменатель мы разделили на одно и то же число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив числитель и с знаменатель на 5, т. е.

В общем случае сокращение дроби возможно, если числитель и знаменатель не взаимно простые числа (см. п. 6); если же числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называется несократимой: например, - несократимая дробь. Основная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью.