ПРЕДИСЛОВИЕ

Операционное, или символическое, исчисление является эффективным аппаратом исследования многих теоретических вопросов и прикладных задач как в самой математике, так и в других областях науки и техники, особенно тех вопросов и задач, которые связаны с решением линейных дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных), дифференциально-разностных, интегральных, интегро-дифференциальных и других уравнений. В частности, операционное исчисление применяется при исследовании многих вопросов и задач физики, механики, теории автоматического регулирования, электротехники, радиотехники, теплопроводности, горной техники. Как отметил А. А. Андронов, операционное исчисление является азбукой современной автоматики и телемеханики.

Методы операционного исчисления позволяют рассматривать символ как величину, над которой можно производить определенную систему формальных операций. На основе этих операций строится соответствующий анализ, являющийся строго обоснованной математической областью. В системе операций действию дифференцирования функции соответствует при определенных условиях действие умножения на оператор некоторой функции зависящей от этого оператора, а действию интегрирования функции соответствует деление на функции . В результате такого рассмотрения многие операции математического анализа сводятся к более простым действиям алгебраического анализа. В частности, решение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами относительно искомой функции сводится к решению соответствующих алгебраических уравнений относительно функции

Развитию теории и приложений операционного исчисления посвящены работы отечественных и зарубежных ученых, внесших на протяжении многих лет важный вклад в эту область математики. В данной монографии рассматриваются вопросы теории и приложений операционного исчисления, которые, на наш взгляд, заслуживают внимания как исследователей-математиков, так и специалистов других областей науки, а также техники.

Изложению собственно операционного исчисления предшествует большой исторический очерк о развитии этой области математики начиная с XVIII в. и до наших дней, написанный А. Н. Боголюбовым. Затем излагается общий курс операционного исчисления, содержащий также новые разделы, доказательства и обоснования. После общего курса рассматриваются исследования автора, в которых операционное исчисление обобщено на широкий и важный класс обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с почти периодическими и квазипериодическими коэффициентами, а также на наиболее общий класс линейных уравнений — с ограниченными коэффициентами. Исследуются условия существования, единственности, устойчивости и неустойчивости решений этих уравнений, выведены формулы получения изображений для многих функций, решены задачи на приложение операционного исчисления в математическом анализе, теории функций, механике, технике. Одна из глав относится к решению дифференциальных уравнений с отклоняющимся (запаздывающим и опережающим) аргументом. Эта глава написана Д. И. Мартынюком. В конце книги помещена библиография по операционному исчислению. Автор пользуется случаем, чтобы выразить благодарность А. Н. Боголюбову, Л. В. Ковальчук и Е. И. Погребысской за участие в ее составлении.

Автор