§ 4. Вид решений линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами

Докажем предварительную теорему.

Теорема 6. Пусть — матрица, регулярная вне полосы

и пусть там же существует и равномерно ограничен интеграл

где удовлетворяется неравенство

Тогда дифференциальное уравнение в матричном виде

имеет

которог при принимает значение единичной матрицы Е.

Доказательство. Теорема будет доказана, если мы установим равномерную сходимость интеграла

в интервале На основании полученных выше результатов выражение (IV.53) может быть записано в виде

где вектор представлен разложением

Выражение (IV.54) приводится к виду

Принимая во внимание ограниченность на всей вещественной оси матриц с помощью метода Хевисайда степенных рядов в операционном исчислении получаем

Таким образом, для установления равномерной сходимости интеграла (IV.53) в интервале остается доказать равномерную сходимость в этом интервале интеграла

Используя полученные выше результаты, интеграл (IV.55) можно записать в виде

или соответственно

Докажем теперь равномерную сходимость интеграла

Полагая, как и раньше,

из (IV.56) получаем

Представим последнее выражение в виде

Вектор как показано нами ранее, ограничен относительно параметра непрерывен относительно на всей вещественной

оси. Поэтому можно найти такой вектор что

Приняв во внимание (IV.58) и (IV.59), получим для (IV.57)

Но интеграл согласно условию, существует и равномерно ограничен вне полосы Поэтому всякому произвольно заданному можно сопоставить такое, независимое от что при выполняется неравенство

Поэтому интеграл (IV.56), а следовательно, и интеграл (IV.53) равномерно сходятся вне полосы аааг, чем устанавливается, что выражение (IV.52) является решением уравнения (IV.1). Остается показать, что это решение удовлетворяет поставленному требованию, т. е. что при оно принимает значение единичной матрицы Е.

Выражение (IV.52) может быть представлено в виде

Поэтому

Принимая во внимание (IV.60), а также результаты, полученные выше, находим

Таким образом, теорема доказана полностью.

Перейдем к установлению вида решений линейных дифференциальных уравнений с ограниченными коэффициентами. Выведем некоторые соотношения.

Рассмотрим дифференциальное уравнение в матричном виде

где

При указанном представлении

Покажем, что матрица может быть представлена в виде

где

Как известно, для выполнения соотношения (IV.63) необходимо, чтобы удовлетворяла условиям Дирихле и чтобы интеграл (IV.64) был абсолютно сходящимся. Условие (IV.62) показывает, что первое из требований выполняется. Интеграл же (IV/64) имеет вид

при а это и доказывает его абсолютную сходимость.

На основании теоремы 6 дифференциальное уравнение (IV.61), в котором функция задана в виде (IV.62), имеет решение

Докажем теперь следующую теорему.

Теорема 7. Решение (IV.65) дифференциального уравнения (IV.61) при стремится к выражению

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

и учитывая неравенство, связывающее соответствующие интегралы, получаем

Следовательно, при

Объединяя результаты (IV.70) и (IV.71), приходим к выражению

Таким образом, решение (IV.69) доказано.

Покажем теперь, что выражение (IV.66) является решением уравнения (IV.67). В самом деле при

откуда

Но при

и

При уравнение (IV.72) переходит в уравнение

откуда

Таким образом, установлено, что (IV.66) является решением уравнения (IV.67) при всех

Аналогичным способом можно показать, что указанное условие выполняется при всех «0.

Покажем, наконец, что решение (IV.66) уравнения (IV.67) удовлетворяет поставленным начальным условиям (IV.68). Установим, что для (IV.66) выполняются условия

Для этого достаточно показать, что

при

при Сначала установим справедливость (IV.73). В самом, деле,

Применяя уже известный прием, легко показать, что это выражение преобразуется к виду

Последние два интеграла, как известно, абсолютно сходятся и подынтегральная функция непрерывна. Вследствие противоположности знаков эти интегралы в пределе аннулируются. Поэтому

этому при принимая во внимание обращение в нуль второго интеграла правой части равенства (1V.75), получаем из него

Установим теперь справедливость (IV.74). Введем в рассмотрение частное решение уравнения (IV.67) в виде

принимающее значение Е при Тогда общее решение (IV.67) примет вид

и в частности

Так как

то

откуда

Выведем еще одно неравенство. Для этого перепишем выражение (IV.69) в виде

при

откуда

где Следовательно,

Учитывая неравенства (IV.77) и (IV.79), получаем из (IV.76)

откуда при

Так как принимающее отрицательные значения, можно положить равным то неравенство (IV.81) можно переписать

в виде

Правая часть последнего неравенства стремительно убывает, поэтому следует принять что и требовалось установить. Для полного доказательства необходимо еще показать, что

Последнее, с учетом предыдущих рассуждений, сразу устанавливается из (IV.78).

Осуществим теперь в экспоненциале сдвиг по от на Тогда вместо выражения (IV.66) получим

Рассуждая аналогично предыдущему, можно показать, что это выражение является решением уравнения (IV.67), удовлетворяющим начальным условиям

Полученные результаты можно обобщить в следующей теореме.

Теорема 8. Дифференциальное уравнение

в котором на всей вещественной оси

— матрица, удовлетворяющая условиям Дирихле, и обеспечивающая абсолютную сходимость интеграла

имеет решение

где

удовлетворяющее начальным условиям

Доказательство. Так как решение однородного уравнения (IV.67) при начальных условиях (IV.84) имеет вид (IV.83), то, как известно, решение уравнения (IV.85) при указанных в теореме 8 начальных условиях представляется выражением

или

Следовательно, учитывая (IV.83), получаем

где

что и требовалось доказать.

Вполне очевидно, что доказанные в данном параграфе теоремы справедливы для случая, когда коэффициенты являются квазипериодическими матрицами. Полученные результаты обобщают аппарат символического исчисления на случай линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами рассмотренного нами вида.