ГЛАВА V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ

§ 1. Определение дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и их классификация

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно с запаздывающим аргументом, применяются при решении задач теории автоматического регулирования, автоматики и телемеханики, радиолокации, электро- и радиосвязи, в исследованиях по теоретической кибернетике, ракетной технике и т. д. Уравнения с запаздывающим аргументом появляются, например, всегда, когда в рассматриваемой физической или технической задаче сила, действующая на материальную точку, зависит от скорости и положения этой точки не только в данный момент времени, но и в некоторый момент, предшествующий данному. В одних системах, например системах автоматического регулирования, запаздыванием является промежуток времени (принципиально всегда имеющийся), который нужен системе для реагирования на входной импульс. Запаздывание в авторегулируемой системе может вызвать появление самовозбуждающихся колебаний, увеличение перерегулирования и неустойчивость системы, в жидкостных ракетных двигателях запаздывание (время, необходимое для превращения топливной смеси в продукты сгорания) является причиной неустойчивости горения.

Рассмотрение колебаний молоточка электромагнитного прерывателя показывает, что наличие запаздывания является необходимым условием работы прибора. Явление запаздывания вызывается самоиндукцией в цепи прерывателя: действующая на молоточек магнитная сила не возникает и не исчезает мгновенно в момент срабатывания контакта. На использовании эффекта запаздывания сигнала за время его движения от передатчика к отражающему объекту и обратно к приемнику основан принцип радиометрии. Таким образом, в некоторых системах запаздывание является свойством, внутренне присущим им.

В радиотехнических устройствах запаздывание обусловлено наличием определенного времени носителей электрических зарядов, а также прохождением электромагнитными волнами больших расстояний. В низкочастотных радиотехнических устройствах запаздывания электрических сигналов, вследствие очень больших скоростей их распространения, ничтожно малы и ими можно пренебречь, в высокочастотных же радиотехнических

устройствах, особенно радиолокационных и радионавигационных, запаздывание сигналов уже сравнимо с естественной единицей измерения для таких систем — периодом колебаний — и этим запаздыванием нельзя пренебрегать.

Как известно, дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом называется дифференциальное уравнение, в которое неизвестная функция и ее производные входят при различных значениях аргумента. Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом можно разделить на три типа: уравнения с запаздывающим аргументом, или запаздывающего типа; уравнения с опережающим аргументом, или опережающего типа; уравнения нейтрального типа.

Дифференциальным уравнением с запаздывающим аргументом называется такое дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в которое производная максимального порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не меньше всех аргументов неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение. Например, уравнения

и

если являются уравнениями с запаздывающим аргументом. Если переменная представляет собой время, уравнения порядка с запаздывающим аргументом могут описывать поведение системы, в которой скорость изменения исследуемой величины зависит от ее прошлых и настоящих значений.

Дифференциальным уравнением с опережающим аргументом называется такое дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом, в которое производная максимального порядка от неизвестной функции входит при одинаковых значениях аргумента и этот аргумент не больше остальных аргументов неизвестной функции и ее производных, входящих в уравнение. Например, уравнение

и уравнение (V.1) при являются уравнениями опережающего типа. Уравнения порядка опережающего типа могут описывать систему, в которой скорость изменения величины зависит от ее настоящих и будущих значений.

Все остальные дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом называются уравнениями нейтрального типа. Например, уравнения

являются уравнениями нейтрального типа. Они могут описывать, например, систему, в которой настоящая скорость изменения величины зависит от прошлой скорости изменения, а также от настоящих и прошлых значений этой величины.