§ 5. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с коэффициентами, мало отличающимися от постоянных

В предыдущем параграфе операционный метод обобщен на системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в частности с квазипериодическими коэффициентами. Казалось бы, что нет необходимости рассматривать отдельно вопрос о линейных дифференциальных уравнениях высших порядков, ибо в принципе он решен о системах. Однако нам представляется полезным поместить здесь исследование линейных дифференциальных уравнений высших порядков, так как в нем затрагиваются некоторые вопросы принципиального характера.

Пусть в дифференциальном уравнении

коэффициенты постоянны и корнями характеристического уравнения

будут Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка с переменными коэффициентами

Запишем коэффициенты в виде

где — комплексный параметр, достаточно малый по модулю, а функции ограничены на всей вещественной оси.

Принимая во внимание (IV.89), уравнение (IV.88) можно переписать в виде

или

где — левая часть уравнения (1V.90),

Будем искать решение уравнения

при условии, что вещественные части параметра и корней характеристического уравнения (IV.87) не совпадают. Если бы решение при этом условии имело вид

где некоторая функция то выполнялось бы соотношение

Пусть — интеграл уравнения

который при обращается нуль вместе со своими последовательными производными и производная которого равна единице. Этот интеграл, очевидно, имеет вид

где — полиномы степеней, равных кратностям соответствующих корней Поскольку, в силу принятого условия, вещественные части параметра и корней не совпадают, получаем

или

Обозначим часть интеграла для которой выполняется неравенство (IV.97), через а часть, для которой выполняется неравенство (1V.98), — через Целесообразно сразу же заметить, что

где некоторые константы, — и — числа не меньшие наибольшего из содержащихся в выражениях

Установим существование единственного ограниченного решения уравнения

вида

Докажем следующую лемму.

Лемма 3. Если вещественные части параметра и корней характеристического уравнения (IV.87) не совпадают, то уравнение (IV. 100), где функция, ограниченная на всей вещественной оси, имеет единственное ограниченное решение вида (IV. 101).

Доказательство. Докажем сначала, что выражение (IV. 101) является решением уравнения (IV.100). В самом деле, записав выражение (IV. 101) в форме

видим, что дополнительные интегралы

представляют собой решения уравнения (IV.96), вследствие чего выражение (IV.102), т. е. (IV. 101), является решением уравнения (IV.100). Докажем, что это решение ограничено. Имеем

Поскольку, согласно условию, функция на всей вещественной оси ограничена, то

Поэтому

Обозначая получаем

Но, как видно из неравенств (IV.99), при вследствие чего интегралы правой части неравенства (IV. 103) сходятся, а поэтому

что указывает на ограниченность решения

Нетрудно подобным способом установить ограниченность производных функции

Докажем, наконец, единственность решения представленного в виде (IV. 101). Каждое решение уравнения (IV. 100) имеет

где полиномы степеней, равных кратностям соответствующих корней Однако

при или при за исключением случая, когда эта сумма тождественно равна нулю. Поскольку решение должно быть ограниченным, то должно совпадать с т. е. единственность решения установлена.

Установим существование единственного решения вида

уравнения

Исходя из леммы 3, докажем следующую теорему.

Теорема 9. Если вещественные части параметра и корней характеристического уравнения (IV.87) не совпадают, то уравненение (IV.105), в котором -функции, ограниченные на всей вещественной оси, имеет единственное решение вида (IV. 104), где — ограниченная в интервале функция от

Доказательство. Очевидно, вопрос о существовании единственного решения вида (IV.104) сводится к вопросу о существовании единственной, ограниченной на всей вещественной оси функции являющейся решением уравнения (IV.95). В самом деле, подставив выражение (IV. 104) в уравнение (IV. 105), получим (IV.95). Покажем сначала, что функция если только она существует, должна быть ограниченной на всей вещественной оси. Для этого перепишем уравнение (IV.95) в виде

что при обозначении

может быть представлено так: или

или

где

Вследствие ограниченности в интервале функций функция (IV. 108) в этом интервале ограничена. Применяя к уравнению (IV.107) лемму 3, устанавливаем, что функция 1, являющаяся решением этого уравнения, должна быть на всей вещественной оси ограниченной.

Установим теперь существование функции На основе леммы 3 решение уравнения (IV.107) должно иметь вид

откуда на основании свойств функции

Применяя к обеим частям (IV. 109) оператор получаем интегральное уравнение

где

Таким образом, если существует решение уравнения (IV. 107), ограниченное на всей вещественной оси, вместе со своими производными, то выражение (IV.106) удовлетворяет интегральному уравнению (IV. 111). Поэтому, чтобы доказать существование функции достаточно доказать существование решения уравнения (IV.111). Установим последнее, применяя метод последовательных приближений.

Будем считать нулевым приближением функции. Определим ее первое приближение

Принимая во внимание, что

и обозначая

получаем в интервале

Построим второе приближение:

Из (IV. 113) и (IV. 117) получаем

или

Покажем, что это неравенство справедливо для любого целого положительного Допустив справедливость неравенства

сразу получаем

что показывает справедливость неравенства для

Установим теперь существование предела последовательности

Для этого достаточно доказать равномерную сходимость на всей вещественной оси ряда

Последнее легко устанавливается на основании сходимости ряда

при

Таким образом, предел

существует и представляет собой непрерывную на всей вещественной оси функцию от

Докажем, что функция единственная, и тем самым установим единственность функции

Допустим существование еще одной функции, например которая является также решением уравнения (IV. 111). Тогда, наряду с (IV.111), получим

Рассмотрим

откуда, обозначая

находим

или

что невозможно при удовлетворяющем неравенству (IV. 123). Поэтому остается принять

Покажем, наконец, что функция представленная выражением (IV. 109), является решением уравнения (IV. 107). Для этого уравнение (IV.107) приведем к виду

или

Заметим, что выражение

представляет собой решение однородного уравнения (IV.96), а выражение

является решением неоднородного уравнения (IV. 107).

Покажем, что функция существование которой доказано,равна .

В самом деле, имеет производные до порядка включительно, поэтому, дифференцируя соотношение (IV. 125), получаем

Умножим на и просуммируем по от нуля до Тогда

где - выражения (IV.112). Левая часть (IV. 129) представляет собой поэтому функция представленная выражением (IV. 109), является решением уравнения (IV. 107).

Итак, мы показали, что если все входящие в состав коэффициентов уравнения ограниченные на всей вещественной оси функции, то при несовпадении вещественных частей параметра и корней соответствующего характеристического уравнения равенство (IV.105) имеет единственное решение вида (IV.104), где — ограниченная функция в интервале

Теперь покажем, что если все -квазипериодические функции, то решение (IV.104) уравнения (IV.105) является квазипериодической функцией. Докажем сначала следующую лемму.

Лемма 4. Если — квазипериодическая функция в интервале -функции, удовлетворяющие условию

то интегралы

являются квазипериодическими функциями.

Доказательство. Поскольку — квазипериодическая функция, ее можно равномерно аппроксимировать в интервале при помощи выражений где — постоянные величины. Следовательно,

где сколь угодно мала. Обозначив

получаем

но

Обозначив, далее,

получаем

где

Из (IV. 132) видно, что интегралы

представляют собой квазипериодические функции в интервале а это и требовалось доказать.

Используя лемму 4, докажем следующую теорему.

Теорема 10. Интегральное уравнение (IV.111), если

—квазипериодические функции, имеет решение, являющееся квазипериодической функцией.

- Доказательство. Применим метод последовательных приближений. Будем считать функцию являющуюся квазипериодической функцией, нулевым приближением функции Определим первое приближение этой функции:

Отсюда, принимая во внимание (IV. 112), получаем

Поскольку на основании леммы 4 интегралы

являются квазипериодическими функциями, квазипериодическая функция. Второе приближение

на основании этих же соображений также является квазипериодической функцией.

Допустив квазипериодичность функции , легко установить квазипериодичность функции В самом деле, строя приближение, получаем

что на основании приведенных выше результатов также является квазипериодической функцией.

Таким образом, функция представляющая собой предел равномерно сходящейся последовательности квазипериодических функцией, есть квазипериодическая функция в интервале Функция представленная выражением (IV.109), на основании леммы 4 является также квазипериодической функцией, вследствие чего и решение (IV. 104) уравнения (IV. 105) есть функция квазипериодическая.

Относительно частот квазипериодической функции следовательно функции докажем такую теорему.

Теорема М. Частоты квазипериодической функции (IV.109) являются линейными комбинациями частот квазипериодических функций

Доказательство. Функцию получаем с помощью таких операций:

1) интегрирования вида

2) сложения;

3) умножения на функции

4) предельного перехода (равномерного).

Эти операции выполняются в рамках частот базисных функций, тем самым теорема доказана.

Следствие. Отсюда, в частности, видно, что если функции периодические, то I — также периодическая функция с тем же периодом.

Рассмотрим величину е. Неравенство, которому она должна удовлетворять, можно представить в виде, где бы величины, стоящие

в правой его части, зависели от параметра . Из (IV. 123) видно, что в правой его части зависимость от осуществляется через величины Оценим модули этих величин. Из (IV. 115) следует, что для получения оценки величин необходимо оценить выражения

Для этого представим интеграл уравнения (IV.96), который при обращается вместе со своими последовательными производными в нуль и производная которого равна единице, в виде

где — интеграл уравнения

Вполне понятно, что удовлетворяет тем же начальным условиям, что и и, как интеграл уравнения (IV.140), очевидно, не зависит от . Для него выполняется соотношение

Следовательно,

а поэтому

где — суммирование соответственно при Поскольку

оценивая выражения (IV.138), можно использовать соотношения (IV. 142). Для первого из них получаем

Однако

Поэтому из (IV. 143) и (IV. 144) получаем

Возьмем произвольное фиксированное и рассмотрим лишь те значения р, при которых

Обозначим наименьшее из через Поскольку для

получаем

Учитывая это, из (IV. 145) находим

должны быть полиномами, не зависящими от р, следовательно, в интервале можно получить равномерную относительно оценку в виде

где — абсолютная константа.

Таким образом, учитывая, что для

т. е.

получаем

На основании изложенных выше соображений получаем в интервале оценку, равномерную относительно р, в виде

— абсолютная константа).

Оценим теперь величины и Имеем

где

где

Перейдем теперь к неравенству (IV. 123). Из (IV. 152) и (IV. 153) получаем

на основании чего можем записать

Принимая во внимание (IV. 124), можно утверждать, что полученные выше результаты распространяются на все удовлетворяющие неравенству

Остается выяснить характер функции 1 относительно параметров и е. Покажем, что она является по отношению к этим параметрам аналитической. Для этого установим сначала аналитичность в области (IV.156) относительно параметров функции Доказав аналитичность последней, установим на основании (IV.109) аналитичность функции

Необходимо заметить, что функция рассматривавшаяся до сих пор как функция от зависит также от параметров . Поэтому в дальнейшем под будем понимать .

Как известно, функция является решением интегрального уравнения (IV. 111) и получается с помощью предельного перехода равномерно сходящейся последовательности функций

Установим сначала аналитичность в рассматриваемой области функции относительно параметра е. Имеем

Запишем интегральное уравнение в виде

причем необходимо иметь в виду, что не являются функциями параметра . Записав, далее,

получим

Отсюда видим, что функции являются функциями от и и не зависят от поэтому в дальнейшем будем их обозначать . Но функция которая может быть записана в виде

сходится равномерно в рассматриваемой области. Следовательно, она в этой области является аналитической функцией относительно е. Из аналитичности функции относительно в области (IV. 156) следует аналитичность в этой же области относительно и функции

Установим теперь аналитичность функции относительно параметра . Для этого установим сначала аналитичность функции относительно параметра р, что возможно, если доказать существование ее производной. Рассмотрим формулу

Эта формула имеет смысл, если интегралы, полученные после формального дифференцирования, абсолютно сходятся. Рассмотрим

рим один из них

Поскольку

получим

Таким же способом устанавливается абсолютная сходимость остальных интегралов, входящих в выражение (IV. 162).

Итак, функции , а следовательно и существуют и являются ограниченными функциями тем самым устанавливается аналитичность функций относительно р, а значит, и функций в данной области. Поскольку функция представляет собой предел равномерно сходящейся последовательности функций аналитических относительно в рассматриваемой области, она является аналитической функцией относительно в этой области. Из аналитичности функции относительно в области (IV. 156) вытекает аналитичность в этой области относительно параметра и функции ?. Следовательно, функция , как теперь установлено, является функцией, аналитической относительно параметров в области (IV. 156). Таким образом, функция , как легко видеть из формулы (IV. 109), также является аналитической функцией относительно этих параметров в рассматриваемой области.

Полученные результаты можно сформулировать в виде двух общих теорем.

Теорема 12. Пусть даны произвольные постоянные Тогда этим величинам можно сопоставить такое что будет справедливо следующее утверждение: дифференциальное уравнение

в котором на всей вещественной оси

а комплексные величины, удовлетворяющие неравенству

где

—корни алгебраического уравнения

имеет единственное решение вида (IV.104).

Функция, является ограниченной относительно переменной на всей вещественной оси и аналитической относительно параметров в области (IV.166). Если — квазипериодические функции, то также квазипериодическая функция от с тем же частотным базисом. Требование достаточной малости параметра можно теперь снять, следовательно, в выражение для коэффициентов уравнения (IV. 166)

может входить произвольное удовлетворяющее неравенству (IV. 156). Для этого докажем следующую теорему.

Теорема 13. Всякому положительному можно сопоставить такое что уравнение

и

в котором на всей вещественной оси

имеет одно-единственное решение вида

где — функция, ограниченная относительно в интервале и аналитическая относительно параметра в области (IV. 17 2).

Если коэффициенты являются квазипериодическими функциями, то — также квазипериодическая функция от с тем же частотным базисом.

Доказательство. Для установления сформулированного утверждения достаточно в теореме 12 положить