§ 7. Разложение решения систем с запаздыванием в ряды по основным решениям

Для получения формулы представления решения системы с запаздыванием в виде ряда (V.63) будем поступать следующим образом. Рассмотрим интеграл от функции по одному из контуров Вполне очевидно, что для достаточно больших I контур будет пересекаться с прямой Обозначим через ту часть контура которая лежит справа от этой прямой, а через -часть контура лежащую слева. Предполагается, что части контура проходятся против часовой стрелки. Поэтому по теореме о вычетах получаем

X сумма вычетов функции внутри (V.72)

В силу того что на прямой и справа от нее нет корней уравнения контур можно всегда деформировать в отрезок этой прямой. Так как при больших I контур совпадает с окружностью в точках ее пересечения с прямой эти точки являются комплексно-сопряженными. Поскольку Г обсзначает главное значение в смысле Коши,

Следовательно, если показать, что

то из (V.72) и (V.73) найдем

т. е. получим разложение решения в ряд.

Докажем соотношение (V.74). Учитывая явный вид функции из соотношения (V.45) получаем

Выберем некоторое и представим

где — интеграл по той части контура на которой а - интеграл по той части контура, на которой Из оценки (V.71) следует, что

Кроме того, длина С в той части, где есть а в той части, где — есть Поэтому

Так как в области при то О для всех причем сходимость абсолютна и равномерна для всех Аналогично

Отсюда, если 0, то абсолютно и равномерно на отрезке если же то абсолютно и равномерно для всех Применяя этот результат к выражению (V.75), убеждаемся в справедливости соотношения (V.74).

Теорема 4. Пусть - единственное непрерывное решение системы (V.55), удовлетворяющее условию .

Тогда

где — вычет функции в нуле определителя Стремление к пределу равномерное на любом конечном отрезке Если все нули лежат в полуплоскости то сходимость равномерна при

Поскольку между имеется конечное число корней то эти корни можно каким-то способом упорядочить (например, по возрастанию модулей). Поэтому можно рассматривать бесконечный ряд

который расходится или сходится, причем в последнем случае его сумма равна Условия, при которых этот ряд сходится, устанавливаются следующей теоремой.

Теорема 5. Предположим, что выполнены условия теоремы 4 и существует такое положительное число что множество расстояний между парами корней характеристического уравнения имеет нижнюю грань, равную Пусть корни характеристического уравнения расположены в порядке неубывания абсолютных величин, причем корни, имеющие равные абсолютные величины, также упорядочены определенным образом, образуя последовательность Тогда ряд (V.78) сходится к при на любом конечном отрезке

Выше решение системы (V.54) строилось с помощью метода, требующего вычисления нулей квазиполиномов и коэффициентов ряда (V.78). Вполне очевидно, что такой метод связан с большими трудностями. Чтобы избежать их, можно воспользоваться разложением выражения в ряд и применить затем формулы обращения (см. исследования В. А. Диткина и А. П. Прудникова, И. И. Рябцева, П. А. Муравьева и др.).

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом

где — непрерывная вектор-функция. Докажем существование и единственность решения системы (V.79) для всех удовлетворяющего условию для и построим это решение с помощью преобразования Лапласа.

Наряду с системой (V.79) рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть — решение этой системы, определенное для всех и удовлетворяющее условию — решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений

определенное для всех при известных и удовлетворяющее условию Из теоремы существования следует, что решения существуют и единственны и имеют изображения при существовании изображения функции Применяя к уравнению (V.80) преобразование Лапласа, получаем

откуда, предполагая, что находим

Обозначив легко убеждаемся, что удовлетворяет системе

и условиям

Рассмотрим матрицу

где — нагуральное число,

Из соотношения (V.85) для интервала получаем

Найдем изображение матрицы

Применяя к уравнению (V.84) преобразование Лапласа, получаем

откуда

Полагая из соотношения (V.88 )находим

или

так как

Таким образом, изображение матрицы имеет вид

Обозначим для через понимая под изображение такого оригинала, который в точке равен Назовем функцию «частичным изображением» решения Следовательно,