§ 3. Критерий устойчивости точного решения основной системы уравнений при ...

Установим критерий сильной устойчивости в положительном направлении решения х уравнения (VI.1). Исследование поведения решения этой системы на бесконечности представляет собой сложную задачу и решение ее требует достаточно тонких рассуждений о некоторых свойствах линейных дифференциальных уравнений и детерминантах Гурвица. Докажем леммы, создающие теоретическую основу для вывода указанного критерия.

Лемма 4. Любым положительным I и можно сопоставить такое что решение системы дифференциальных уравнений

в которой и для которой удовлетворяет неравенству

где а — наибольшая из вещественных частей корней характеристического уравнения (VI.3), число корней этого уравнения, — любое положительное число, удовлетворяющее неравенству

Доказательство. Покажем сначала, что выражение, представленное интегралом Коши

где С — замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую внутри себя все корпи характеристического уравнения (VI.3), является решением уравнения (VI.50). В этом легко убедиться, выполнив непосредственную подстановку. В самом деле,

Покажем, далее, что Приняв во внимание

и положив получим

где окружность с центром в начале координат и радиусом

Контур С, как указано выше, ограничивает область, внутри которой содержатся все корни уравнения (VI.3). Чтобы гарантировать последнее, выберем контур С определенным образом. Обозначим наибольшую из вещественных частей корней характеристического уравнения (VI.3) через а. Тогда Примем за контур интегрирования в плоскости отрезок прямой где — любое положительное число, удовлетворяющее неравенству и дугу окружности (рис. 12) с центром в начале координат и радиусом

Рис. 12.

При таком выборе контура мы обеспечим нахождение всех корней характеристического уравнения (VI.3) внутри области, ограниченной этим контуром.

Теперь оценим Имеем

Полагая

где — полономиальная относительно матрица, а

из неравенства (VI .55) получаем

Принимая во внимание, что корнями являются неравенство (VI.56) можно записать в виде

Но, исходя из полиномиальных свойств матрицы можно найти такое число что будет выполняться неравенство

Теперь имеем право записать

и тем самым устанавливаем утверждение леммы 1.

Следствие. Из доказанной леммы можем получить

где

Для получения (VI.57) достаточно положить в (VI.51) причем

Установим теперь нижнюю границу модулей вещественных частей корней уравнения (VI.52) в зависимости от детерминантов Гурвица, число которых для уравнения порядка обозначим через Для этого сначала докажем следующие две леммы.

Лемма 5. Каждому целому и любому можно сопоставить такое что для уравнения с вещественными коэффициентами

все корни которого по модулю не превышают числа и для которого детерминанты Гурвица

положительны, выполняется неравенство

где

Доказательство. Покажем сначала, что если некоторые из корней уравнения (VI.59) имеют нулевую вещественную часть, а все остальные — отрицательные вещественные части, то некоторые из детерминантов Гурвица должны быть нулями. В самом деле, при указанном условии, налагаемом на вещественные части корней характеристического уравнения, возможны такие случаи: 1) все детерминанты Гурвица должны быть положительными; 2) хотя бы один из детерминантов Гурвица, например должен быть отрицательным; 3) некоторые из детерминантов Гурвица должны быть нулями.

Первый случай невозможен, так как тогда на основании теоремы Гурвица, устанавливающей отрицательность вещественных частей корней алгебраического уравнения (VI.59), в зависимости от положительности всех детерминантов все корни этого уравнения имели бы отрицательные вещественные части, что противоречит условию.

Второй случай также невозможен. В самом деле, коэффициенты уравнения (VI.59), а значит и все детерминанты являются непрерывными функциями корней этого уравнения. Следовательно, сколь угодно малому изменению корней соответствует сколь угодно малое изменение детерминантов Учитывая это, придадим корням уравнения (VI.59), имеющим нулевую вещественную часть, настолько малое отрицательное приращение, чтобы отрицательный детерминант сохранил свой знак. Но тогда, ввиду отрицательности вещественных частей всех корней этого уравнения, детерминанты Гурвица должны быть положительными. Таким образом, мы пришли к противоречию. Следовательно, второй случай невозможен.

Поскольку первые два случая исключаются, остается принять, что некоторые из детерминантов должны быть нулями, тем самым устанавливается наше предварительное утверждение. Приступим теперь непосредственно к доказательству леммы.

Коэффициенты являются полиномиальными симметрическими функциями корней Следовательно, и детерминанты Гурвица являются полиномиальными симметрическими функциями корней с коэффициентами, зависящими лишь от . Отсюда следует, что в области

все ограничены. Значит, можно найти такое постоянное что

где детерминанты Гурвица для корней детерминанты Гурвица для корней

Пусть — наименьшее из абсолютных значений вещественных частей корней уравнения (VI.59). Предположим, что

Если — комплексный корень, то сопряженный ему корень обозначим через Тогда также

Предположим, что корни равны соответственно кроме

Тогда вещественные части корней будут отрицательными, за исключением вещественных частей корней которых они окажутся нулями. Отсюда следует, что хотя бы один из детерминантов должен быть равен нулю. Пусть таким детерминантом будет

Тогда для него на основании (VI.63) должно выполняться неравенство

На основании (VI.64)

вследствие чего из (VI.66) получаем

откуда

Таким образом,

где т. е. лемма доказана.

Аналогично можно доказать лемму, устанавливающую нижнюю границу минимума модулей вещественных частей корней уравнения (VI.3) в зависимости от детерминантов Гурвица, как полиномиальных функций элементов матрицы А.

Лемма 6. Всякому можно сопоставить такое что для уравнения (VI.3), в котором и детерминанты Гурвица положительны, выполняется неравенство

где

Для доказательства следует рассмотреть уравнение (VI.3). Оно может быть записано в виде

где — полиномиальные функции элементов матриц А порядка Обозначим детерминанты Гурвица, составленные из через

Поскольку как показано в предыдущей лемме, все корни уравнения (VI.3) по модулю не превышают числа Далее по лемме 5 устанавливается лемма 6.

Из оценки (VI.57) и леммы 6 вытекает следующая лемма. Лемма 7. Всякому можно сопоставить такие что решение уравнения

для которого если и все соответствующие этому уравнению детерминанты Гурвица положительны, удовлетворяет неравенству

где

Докажем теперь теорему о критериях сильной устойчивости решения системы (VI.1). Доказанными нами леммами создана основа для того, чтобы установить непосредственно условие стремления к нулю решения исходной системы уравнений при Критерий устойчивости легко можно было бы получить для приближения (VI.37) решения системы (VI.1), приняв, например, требование, чтобы все детерминанты Гурвица, относящиеся к дифференциальному уравнению (VI.35), были положительными.

Однако, для того чтобы от приближения перейти к точному решению, следовало бы иметь оценки погрешности, которые во всяком случае не ухудшались бы при Но таких оценок у нас пока нет. Поэтому мы отказались от заманчивого, на первый взгляд, пути установления условия «точной» устойчивости через «приближенную», а избрали путь непосредственного вывода критерия устойчивости точного решения рассматриваемой системы уравнений (VI.I).

Возвратимся к полученному нами ранее формальному решению. Выпишем детерминанты Гурвица, относящиеся к формальному уравнению с постоянными коэффициентами

т. е.

Их элементами являются формальные степенные ряды по степеням е. Рассмотрим формальные разложения выписанных детерминантов по степеням

В этих разложениях некоторые из коэффициентов, вообще говоря, могут оказаться нулями. Обозначим первые неисчезающие коэффициенты этих разложений через Положительностью и будет определяться устойчивость решения системы (VI. 1) при Это устанавливается следующей теоремой.

Теорема 4. Если в разложениях по степеням детерминантов Гурвица, относящихся к формальной система уравнений (VI.35), все первые неисчезающие коэффициенты положительны, то можно указать такое столь малое что при любое точное решение вида (VI.32) основной системы (VI. 1) стремится к нулю, когда

Доказательство. Сравним коэффициенты формальных разложений по степеням детерминантов Гурвица, относящихся к формальной системе уравнений с постоянными коэффициентами (VI.35),

с коэффициентами полиномов, представляющих собой соответствующие детерминанты Гурвица для приближения,

Отметим, что поскольку на коэффициент при могут влиять под знаком детерминанта лишь коэффициенты при степенях не выше то в разложениях (VI.69) и (VI.70) для будет выполняться равенство

Возьмем

Тогда для любого удовлетворяющего этому неравенству,

Выберем здесь такое чтобы

Тогда при любом будет выполняться неравенство

или

где

и

Чтобы установить стремление к нулю при решения системы (VI.33), оценим на основании имеющихся результатов в приближении выражение являющееся решением системы (VI.35) и удовлетворяющее поставленным нами требованиям. Эта оценка понадобится в дальнейшем при установлении неравенства для модуля решения системы (VI.33).

Воспользуемся леммой 7, приняв вместо

Тогда можно указать такие положительные что при

или на основании (VI.72)

где

Установим теперь стремление к нулю при решения (VI.32) системы (VI.I), если условия, указанные в теореме, выполняются. Для этого докажем, что вектор входящий в решение (VI.32), стремится к нулю при Воспользуемся неравенствами (VI.42) и (VI.73). Получим

Отсюда

где

Поскольку

можно представить в виде

Следовательно.

Выберем находящееся в нашем распоряжении таким образом, чтобы

и тем самым выполнялись условия, которые затем возникают в процессе исследования. Кроме того, возьмем такое чтобы

тогда для всех положительных в, не превышающих на основании (VI.77) можно окончательно записать

где

Неравенство (VI.79) свидетельствует об экспоненциальном стремлении к пулю при вектора , а следовательно, установлена и сильная устойчивость в положительном направлении решения (VI.32) основной системы уравнений (VI.1).

Теперь у нас есть возможность оценить погрешность приближения решения уравнения (VI.33), имеющую место равномерно на всей вещественной положительной полуоси. Возвратимся к результатам, относящимся к оценке Из (VI.41), применив введенные обозначения и приняв во внимание неравенство (VI.79), при получим

Но

Поэтому из (VI.80) находим

или

где

Неравенством (VI.81) устанавливается асимптотическое стремление приближения к точному решению системы (VI.33) при

Оценим погрешность приближения решения основной системы (VI.1), имеющую место равномерно в интервале Для этого рассмотрим оценку

Получим

Поскольку -матрица класса 2, при

Тогда на основании (VI.81)

или

где Неравенством (VI.83) устанавливается асимптотическое стремление приближения к точному решению х системы (VI. 1) при