Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 3. Критерий устойчивости точного решения основной системы уравнений при ...Установим критерий сильной устойчивости в положительном направлении решения х уравнения (VI.1). Исследование поведения решения этой системы на бесконечности представляет собой сложную задачу и решение ее требует достаточно тонких рассуждений о некоторых свойствах линейных дифференциальных уравнений и детерминантах Гурвица. Докажем леммы, создающие теоретическую основу для вывода указанного критерия. Лемма 4. Любым положительным I и
в которой
где а — наибольшая из вещественных частей корней характеристического уравнения (VI.3), Доказательство. Покажем сначала, что выражение, представленное интегралом Коши
где С — замкнутый контур, ограничивающий область, содержащую внутри себя все корпи характеристического уравнения (VI.3), является решением уравнения (VI.50). В этом легко убедиться, выполнив непосредственную подстановку. В самом деле,
Покажем, далее, что
и положив
где Контур С, как указано выше, ограничивает область, внутри которой содержатся все корни уравнения (VI.3). Чтобы гарантировать последнее, выберем контур С определенным образом. Обозначим наибольшую из вещественных частей корней
Рис. 12. При таком выборе контура Теперь оценим
Полагая
где
из неравенства (VI .55) получаем
Принимая во внимание, что корнями
Но, исходя из полиномиальных свойств матрицы
Теперь имеем право записать
и тем самым устанавливаем утверждение леммы 1. Следствие. Из доказанной леммы можем получить
где
Для получения (VI.57) достаточно положить в (VI.51)
Установим теперь нижнюю границу модулей вещественных частей корней уравнения (VI.52) в зависимости от детерминантов Гурвица, число которых для уравнения Лемма 5. Каждому целому
все корни которого по модулю не превышают числа
положительны, выполняется неравенство
где
Доказательство. Покажем сначала, что если некоторые из корней уравнения (VI.59) имеют нулевую вещественную часть, а все остальные — отрицательные вещественные части, то некоторые из детерминантов Гурвица должны быть нулями. В самом деле, при указанном условии, налагаемом на вещественные части корней характеристического уравнения, возможны такие случаи: 1) все детерминанты Гурвица должны быть положительными; 2) хотя бы один из детерминантов Гурвица, например Первый случай невозможен, так как тогда на основании теоремы Гурвица, устанавливающей отрицательность вещественных частей корней алгебраического уравнения (VI.59), в зависимости от положительности всех детерминантов Второй случай также невозможен. В самом деле, коэффициенты Поскольку первые два случая исключаются, остается принять, что некоторые из детерминантов Коэффициенты
все
где
Пусть
Если
Предположим, что корни
Тогда вещественные части корней
Тогда для него на основании (VI.63) должно выполняться неравенство
На основании (VI.64)
вследствие чего из (VI.66) получаем
откуда
Таким образом,
где Аналогично можно доказать лемму, устанавливающую нижнюю границу минимума модулей вещественных частей корней уравнения (VI.3) в зависимости от детерминантов Гурвица, как полиномиальных функций элементов матрицы А. Лемма 6. Всякому
где
Для доказательства следует рассмотреть уравнение (VI.3). Оно может быть записано в виде
где
Поскольку Из оценки (VI.57) и леммы 6 вытекает следующая лемма. Лемма 7. Всякому
для которого
где
Докажем теперь теорему о критериях сильной устойчивости решения системы (VI.1). Доказанными нами леммами создана основа для того, чтобы установить непосредственно условие стремления к нулю решения исходной системы уравнений при Однако, для того чтобы от Возвратимся к полученному нами ранее формальному решению. Выпишем детерминанты Гурвица, относящиеся к формальному уравнению с постоянными коэффициентами
т. е.
Их элементами являются формальные степенные ряды по степеням е. Рассмотрим формальные разложения выписанных детерминантов по степеням
В этих разложениях некоторые из коэффициентов, вообще говоря, могут оказаться нулями. Обозначим первые неисчезающие коэффициенты этих разложений через Теорема 4. Если в разложениях по степеням Доказательство. Сравним коэффициенты формальных разложений по степеням
с коэффициентами полиномов, представляющих собой соответствующие детерминанты Гурвица для
Отметим, что поскольку на коэффициент при
Возьмем
Тогда для любого
Выберем здесь такое
Тогда при любом
или
где
и
Чтобы установить стремление к нулю при Воспользуемся леммой 7, приняв вместо
Тогда можно указать такие положительные
или на основании (VI.72)
где
Установим теперь стремление к нулю при
Отсюда
где
Поскольку
Следовательно.
Выберем находящееся в нашем распоряжении
и тем самым выполнялись условия, которые затем возникают в процессе исследования. Кроме того, возьмем такое
тогда для всех положительных в, не превышающих
где
Неравенство (VI.79) свидетельствует об экспоненциальном стремлении к пулю при Теперь у нас есть возможность оценить погрешность
Но
Поэтому из (VI.80) находим
или
где
Неравенством (VI.81) устанавливается асимптотическое стремление Оценим погрешность
Получим
Поскольку
Тогда на основании (VI.81)
или
где
|
1 |
Оглавление
|