§ 3. Об интеграле Лапласа

Теорема 1. Если функция удовлетворяет условиям (о), то ее изображение определено для всех значений р, действительная часть которых превосходит показатель роста а функции и является аналитической функцией при указанных значениях .

1. Докажем сначала первую часть теоремы, т. е. что изображение определено в полуплоскости

Обозначим действительные части значений , превосходящие показатель роста а функции через о. Тогда, в силу условия выполняющегося для функции

Следовательно,

Таким образом, интеграл абсолютно сходится для всех значений , действительная часть которых а превосходит показатель роста а функции что означает, что изображение оригинала для указанных значений определено.

2. Докажем теперь, что является аналитической функцией для тех же значений .

Рис. 2.

Рис. 3.

Рассмотрим для всех значений , действительные части которых удовлетворяют неравенству Интеграл

сходится равномерно, а это значит, что функция в любой точке, удовлетворяющей имеет производную. Следовательно, изображение оригинала для указанных значений является функцией аналитической.

Таким образом, теорема полностью доказана.

Следствие. Когда действительная часть переменной стремится к бесконечности, то изображение оригинала стремится к нулю. Это непосредственно вытекает из (II.8).

Примечание 1. Односторонний интеграл Лапласа сходится для всех значений , лежащих справа от некоторой прямой, параллельной мнимой оси (рис. 2).

Примечание 2. Двусторонний интеграл Лапласа сходится для всех значений , лежащих справа и соответственно слева от некоторых прямых, параллельных мнимой оси (рис. 3).