§ 19. Дифференцирование и интегрирование по параметру

Выше мы рассматривали действия дифференцирования и интегрирования по параметрам и в различных операционных соотношениях. Рассмотрим теперь дифференцирование и интегрирование по параметру, имеющемуся в операционных соотношениях сверх величин

Пусть

где — параметр. Дифференцируя обе части этого равенства по получаем

т. е.

Теперь можно записать операционное соотношение

из которого видно, что изображением оригинала — частной производной по параметру от первоначального оригинала является частная производная поэтому же параметру от первоначального изображения и наоборот. При этом предполагается, естественно, что указанные частные производные существуют.

При рассмотрении интегрирования по параметру будем исходить опять из соотношения

Проинтегрируем это равенство по в пределах от до Тогда

Предполагая, что интегралы в обеих частях последнего соотношения существуют и ограничены в пределах от Я] до изменяем

ем здесь порядок интегрирования. Получаем

или в операционной записи

Как видим, изображение оригинала, полученного при помощи интегрирования первоначального оригинала по параметру X в пределах от до представляется интегралом от первоначального изображения , взятым по этому же параметру и в этих же пределах, и наоборот.

Выведенные правила дифференцирования и интегрирования по параметру, отличному от в операционном исчислении широко применяются. Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Пусть

где — некоторая функция от Тогда

Здесь — функции от параметра , который примем за оператор, рассматриваемый в операционном исчислении.

Пусть для функций как для некоторых изображений, будут оригиналами соответственно

Тогда на основании выведенного нами правила интегрирования по параметру, наряду с соотношением

получим также соотношение

Пример 2. Применяем к соотношению (вывод см. в § 20)

правило дифференцирования по параметру Получаем

При

или

или в операционной записи по Карсону

Пример 3. Проинтегрируем обе части соотношения (вывод см. в § 20)

по параметру Я в пределах от нуля до единицы. Получим

Пример 4. Будем исходить из операционного соотношения (вывод см. в § 20)

Продифференцируем обе части этого соотношения по параметру . Получим

или

Но из исходного соотношения видим, что

Тогда, применяя известное свойство операционного исчисления, приходим к соотношению

или

Пример 5. Можно также исходить из операционного соотношения (вывод см. в § 20)

Продифференцируем обе его части по параметру р. После соответствующих преобразований получим

Пример 6. Из операционного соотношения (см. § 20)

при получим

или по Карсону

Если левую часть этого соотношения проинтегрировать по в пределах от нуля до то получим

Но тогда соответствующим изображением, по правилу интегрирования оригинала, будет Следовательно,

В нашем примере будем исходить именно из этого символического равенства. Проинтегрируем его по в пределах от с до используя правило интегрирования операционного соотношения по параметру. Получим

или

Полагая приходим к важному символическому равенству

или