§ 1. Возникновение первых идей

История операционного исчисления ведет свое начало от одного из великих соперников по разработке анализа бесконечно малых — от Лейбница. В одной из статей, посвященных некоторым задачам дифференциального исчисления, Лейбниц указал, что дифференциал произведения двух чисел по форме выражения подобен степени бинома. Действительно,

Эта аналогия непосредственно следует из теоремы о биноме, если оператор представить в виде суммы

Остается сравнить выражения и (1.2). На эту аналогию Лейбниц указывал в письмах И. Бернулли, а также в одном из своих мемуаров. И. Бернулли показал, что в определенных случаях с помощью этой аналогии по заданному дифференциалу можно найти интеграл. Развивая далее свою мысль, Лейбниц заметил, что подобная аналогия существует также между отрицательными степенями и интегралами.

Почти одновременно была высказана мысль о дробном показателе при дифференцировании. Я. Бернулли в одном из писем Лейбницу по вопросу о производной от произведения двух функций спросил, какое значение могла бы иметь эта теорема при дробном показателе. В письмах Валлису и И. Бернулли в 1695 г. Лейбниц сделал несколько замечаний о том, что иногда можно рассматривать дифференциалы и производные дробного порядка. Сущность этих замечаний состоит в форме, которую он придает дифференциалу дробного порядка от показательной функции. Пусть задана последовательность

Полагая здесь и отбрасывая при интегрировании произвольные постоянные, получаем

Если теперь обозначить производную порядка от функции при помощи символа то для геометрической прогрессии (1.4) при всяком положительном или отрицательном,

Обобщая это выражение, Лейбниц полагает, что производная произвольного порядка от функции будет

и этим ограничивается.

Некоторые замечания по этому вопросу были сделаны также Эйлером, который, очевидно, не придавал ему особенного значения. Вообще, идея Лейбница, вылившаяся в конце XVIII в. в мысль о преобразовании анализа бесконечно малых в форме алгебраического анализа, Эйлера не интересовала, однако ему принадлежит один результат, впоследствии использованный под другим названием при перестройке символического исчисления. Он исследует преобразование (найденное им в

которое и прилагает к интегрированию определенного класса дифференциальных уравнений, исходя из частных значений интеграла

соответствующих подобранным значениям

Замечания Лейбница о «биномиальной» аналогии Лагранж развил в стройную схему своеобразного алгоритмического исчисления. Символ дифференцирования он рассматривал как фиктивную величину, к которой можно прилагать обычные правила алгебры. Следовало лишь в окончательном результате степень символа примененного к величине и, выражать в форме При этом, в частности, Лагранж получил свою известную символическую формулу

где

Все же Лагранж заметил, что сам принцип аналогии, на котором основано предложенное им исчисление, не очевиден, хотя это не отражается на точности получаемых результатов. Он считал,

что аналитически доказать принцип очень трудно. Несколько позднее, в 1776 г., подобные результаты получил Лаплас. Он исходил из разложения в ряд

причем заметил, что коэффициенты не зависят от функции и и зависят только от Поэтому их можно определить, исходя из частных значений функции и. Для случая аналогия Лейбница ясна.

Лапласу принадлежит также исследование преобразования, впервые изученного, как отмечалось выше, Эйлером. Это преобразование, известное в виде

изучалось Лапласом в форме

которая получается из предыдущей при замене у на Он называет производящей, а — определяющей функцией.

Работы Лагранжа и Лапласа вызвали к жизни большое количество исследований. Туринский ученый Лорнья по образцу исчисления Лагранжа разработал «новый вид конечного и бесконечного исчисления» 4, которое он характеризует следующим образом:

«Новый вид исчисления, о котором идет речь в настоящем мемуаре, состоит в том, что символы которыми пользуются в обычных конечном и бесконечном исчислениях, рассматриваются в двух различных аспектах, а именно: или как условные знаки, предназначенные для указания на изменения состояния величин, перед которыми они поставлены, или же как алгебраические количества.

То же самое можно сказать и относительно последовательно изменяющихся значений функции у, которые в настоящем исчислении следует рассматривать или как символические величины, или как величины экспоненциальные. Это и заставляет чувствовать, во-первых, необходимость отличать эти разные условия при помощи некоторых символов таким образом, чтобы всегда можно было распознать то состояние, в котором в том или ином случае находятся символы, и переходить при этом

без ошибки из одного состояния в другое». Исходя из этих предпосылок, Лорнья и строит свое исчисление, которое, в сущности, сводится к выводу довольно большого количества формул с указаниями, в каких случаях их следует применять. Свой метод Лорнья не обосновывает.

На рубеже двух столетий появляется весьма объемистый трактат профессора математики Страссбургского университета и члена Национального института (реорганизованной Парижской академии наук) Арбогаста «Об исчислении дериваций» 6. Эта работа оставила заметный след в области символического анализа первой половины XIX в. «Для того чтобы понять сущность дериваций, — пишет Арбогаст, — следует заметить, что величины или функции, которые выводятся одни из других при помощи некоторой совокупности операций, являются величинами производными; таковыми, например, являются последовательные дифференциалы. Можно распространить эту идею на рассмотрение тех величин, которые производятся одни из других, исключительно в таких операциях, которые их собирают и связывают между собой, причем сами величины являются любыми, произвольными, независимыми...

Деривация есть действие, при помощи которого производная выводится из предшествующей производной или из функции. В общем метод дериваций состоит в нахождении закона, который связывает совокупности любых величин между собой, и в использовании этого закона в качестве способа вычисления для перехода от одной производной к другой» 1. И далее: «Я прилагаю... к дифференциалам, к общим производным, к соотношениям между дифференциалами и (конечными) разностями метод исчисления, который можно было бы назвать методом разделения последовательностей операций: он предоставляет возможность изображать в очень простом виде сложные формулы и получать с чрезвычайной легкостью важные результаты. Рассматриваемый с общей точки зрения этот метод заключается в отделении от функции некоторых переменных, поскольку это возможно, знаков тех операций, которые производят эту функцию, и в рассмотрении выражения, образованного этими знаками, перемешанными с любыми величинами, выражения, которое я назвал последовательностью операций..., как если бы знаки операций, входящие в него, сами были величинами; после этого результат следует умножить на функцию» 8.

Объемистый трактат Арбогаста содержит много примеров применения этого метода, в частности к разложению функций в

ряды полиномов или в степенные ряды и к задаче обращения рядов. Однако автор лишь показывает свой метод «разделения последовательностей», но не доказывает его.

В этом же направлении ведут исследования и другие математики. Все они пользуются в своих символических исчислениях такими рассуждениями, которые в различной форме содержат совершенно аналогичные ошибки: символы рассматриваются то как знаки операций, то как реальные алгебраические величины. Так, Арбогаст и Франса под названием разработанного ими метода «разделения последовательностей» понимают рассмотрение этих символов, или «последовательностей», как независимых неопределенностей.

Целью всех подобных попыток было, как сформулировал Грюзон, создать дифференциальное исчисление на основе алгебраической метафизики. Однако для этого у авторов систем не было возможности. Только Лаплас при помощи своих «производящих функций» смог строго доказать некоторые частные теоремы. Создание общей теории, при помощи которой можно было бы пояснить, почему в некоторых случаях разделение символов операций и величин приводит к правильному результату (чего никак не удается добиться в других случаях), оставалось недостижимым.

Первым существенным вкладом в этом направлении явился мемуар Сервуа. В нем были выяснены те свойства разделяемых операций, от которых зависит законность такого разделения. Исходя из этих свойств, Сервуа создает такой вид функционального исчисления, для которого доказывает, что конечные разности, дифференцирование и умножение на любые величины, не зависимые от переменных, могут применяться так, как если бы их символы операций были обычными алгебраическими величинами. Таким образом, эти сохраняемые свойства и являются формальными законами тех операций, к которым прилагается исчисление. И действительно, Сервуа показал, что аналогии, установленные его предшественниками, зависят только от коммутативного, дистрибутивного и ассоциативного законов, которым подчиняются символы операций Однако он, подобно своим предшественникам, часто путает выражения «функция» и «операция».

В 1830-1860 гг. вопросами разработки символического исчисления в смысле Сервуа начинают заниматься английские математики. Пикок показал («Алгебра», 1830 г.), что теория разделения в сущности является не неким подобием алгебры или функциональным исчислением, основанным на законах алгебры, а именно самой алгеброй. Дальнейшие исследования в этом направлении принадлежали Мурфи, Булю, Грегори, Грэвсу, Хэргриву, Джиллету, Кермайклу и Кэйли.

Английские математики применяли символические методы в дифференциальном и интегральном исчислениях, в исчислении конечных разностей, в теории дефференциальных и разностных уравнений. В их работах была выяснена сущность законов Сервуа и более глубоко обоснована возможность применения символики. Сами символы получили серьезное математическое определение, и применение их стало, если можно так выразиться, стандартизировано. Например, была выявлена группа простейших дистрибутивных символов, куда вошли символ обычной деривации, символ А конечной разности, для которого справедливо соотношение операция , названная в работах Арбогаста и его современников «изменением состояния»: и, следовательно, Кроме того, было установлено, что для любого значения справедливо соотношение Следует отметить также операцию подстановки , где является заданной функцией от х. Назначение ее в обосновании подстановки вместо х, и она определяется из формулы

Изучены рациональные функции, целые и нецелые относительно соответствующей символики, что дало возможность вывести интересные формулы. Так, если является рациональной функцией символа и если являются производными от взятыми по отношению к и построенными по обычным правилам, то выполняется соотношение

Эта формула была выведена Хэргривом. Для случая, когда является целой функцией от она была известна уже Даламберу 10.

Бриссон рассмотрел более общие функции дистрибутивных символов и применил их к интегрированию линейных дифференциальных уравнений и линейных уравнений в конечных разностях. К сожалению, Бриссон не опубликовал своих результатов, и они стали известны лишь благодаря основанным на них публикациям Коши и. Коши развил исследования в том же направлении и вывел большое количество формул. В частности, он первый заметил, что разложение в ряд функции в символическом исчислении может привести к ошибочным результатам. Им были найдены предельные значения для сходимости этих рядов и методы, с помощью которых можно удостовериться в значимости результатов, полученных символическим способом.

Его исследования распространяются также на функции от нескольких символов

и на символы, относящиеся к функциям многих переменных.

В конце первой половины XIX в. нидерландский математик Лобатто предложил вариант символического исчисления под названием теории характеристик. Он вывел много формул и получил решения дифференциальных (обыкновенных и в частных производных) и разностных уравнений.

Интересный результат был получен Каке в докторской диссертации 12. Он вводит оператор определяемый из уравнения

С помощью этого уравнения Пикар и Коши разработали метод доказательства существования и единственности решения дифференциальных уравнений. (Это уравнение явилось важным этапом в рассуждениях Хевисайда.)

В России символическое исчисление стало известно из книг зарубежных математиков, и в частности из трехтомного курса дифференциального и интегрального исчислений Лакруа, в котором было много справок по вопросам символического исчисления. Н. Е. Зернов пишет о курсе Лакруа в докторской диссертации «Рассуждение об интеграции уравнений с частными дифференциалами» (1837 г.). В свой курс математики в Московском университете он ввел элементы символического исчисления. В. Я. Буняковский знакомит с Лакруа читателя в «Лексиконе чистой и прикладной математики» (1839 г.), В. М. Перевощиков излагает некоторые применения символического исчисления в магистерской диссертации «Рассуждение об интегрировании разностных уравнений с двумя переменными» (1848 г.).

В 1862 г. в Киеве была издана монография М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений» (магистерская диссертация). На «Символическом исчислении...» Ващенко-Захарченко сказалось влияние исследований английских «символистов» и его учителя Коши (Ващенко-Захарченко слушал в Сорбонне лекции Коши, Серре и Лиувилля). Он выделяет символы «количественные» и «действенные», в которых легко обнаружить символы количеств и операций, например, Арбогаста.

В первой главе книги излагается алгебра символов, понятие символической функции и основные свойства символических функций, а также выводятся некоторые основные формулы. Вторая глава посвящена интегрированию линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. В ней выводятся некоторые формулы решения без исследования и приведены примеры. Глава заканчивается решением «совокупных уравнений» (систем уравнений) и следующим заключением автора: «... решение линейных уравнений первого порядка сводится к решению одного линейного порядка». Третья глаза посвящена интегрированию линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Излагаются некоторые результаты исследований автора и вводятся некоторые новые символы (основная символика заимствована у Коши). В четвертой главе описывается двойственность линейных дифференциальных уравнений. Автор считает, что строго доказать двойственность линейных дифференциальных уравнений трудно, хотя результаты, полученные с ее помощью, всегда истинны; часто, впрочем, получаются символические формы, которые, при нынешнем состоянии анализа, необъяснимы, по поскольку такой необъяснимой форме символа с помощью известного преобразования мы можем придать объяснимую форму, то полученный результат всегда будет истинным. Объяснимая форма символов в решении (общего уравнения первого порядка будет в следующих случаях.

Случай 1. Если

то решение этого уравнения имеет вид

Случай 2. Если

то решение имеет вид

где отнесено к переменному х. Пятая глава содержит интегрирование линейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследуются возможные решения, вводятся некоторые новые символы и выясняются их свойства. В конце главы помещены очерки о совокупных дифференциальных уравнениях в частных производных, об интегрировании дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и о переходе от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных. Последняя глава посвящена интегрированию линейных дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Автор утверждает, что если

найти конечный интеграл не удается никаким известным способом, то прибегают к интегрированию с помощью бесконечных рядов. В чем состоит этот способ, известно, но приемы, излагаемые до сих пор, вообще, затруднительны, так как первые коэффициенты и экспоненты отыскиваются, так сказать, ощупью. Символический метод лишен этих недостатков.

В целом монография «Символическое исчисление...» представляет собой результат глубокого изучения литературы по символическим методам, дополненный некоторыми решениями и примерами автора. Исторически автор, следуя своим предшественникам, занимается одной из основных задач середины XIX в. дифференциальными уравнениями. Применение символических методов было ограниченным, и на них часто смотрели как на пример математического рассуждения, а не как на методы прикладной математики. В частности, они применялись для решения задач теории инвариантов (метод Кэйли и методы Аронгольда и Клебша), а также аналитической теории чисел.

К методам символического исчисления вплотную примыкают методы исчисления производных с производным указателем, основанные на одной из идей Лейбница. Значительное усовершенствование этих методов принадлежит Лиувиллю. Он исследует функции, для которых можно принять экспоненциальное представление

и определяет для них производную порядка (где — произвольное число, рациональное, иррациональное или комплексное) при помощи ряда

Это определение дает возможность естественно обобщить исчисление производных с целым указателем, но все же общим назвать его нельзя, так как, во-первых, выражение для функции годно лишь для частных случаев таких функций и, во-вторых, следует ограничить значениями, которые обеспечивают сходимость разложения ряда.

В одной из своих первых работ, написанных еще в 1847 г., Риман определяет в качестве производной порядка функции а коэффициент в разложении а в ряд по степеням где не целое число и

Таким образом, получается производная порядка от Исходя из такого определения, Риман получает представление

производной порядка в форме определенного интеграла:

где — произвольное целое положительное число, большее

Исследования Лиувилля использовал в своих работах А. В. Летников. Непосредственной причиной исследований А. В. Летникова в области теории дифференциальных уравнений явились попытки найти общий метод их интегрирования. Понимая, что такая задача была преждевременной, Летников суживает ее и стремится улучшить существующие частные способы. Вот тогда то он и использует метод Лиувилля интегрирования уравнений с помощью дифференцирования с произвольным указателем.

Летников ставит своей целью разработку теории дифференцирования с произвольным указателем и изучение ее возможных приложений. Подобно Лиувиллю, он считает эту задачу интерполяционной, сводящейся к нахождению для функции у от независимого переменного х промежуточных членов бесконечного ряда

Однако в основе теории Лиувилля лежит предположение, что производная порядка от функции есть Летников считает, что это предположение не очевидно. Чтобы найти производную от какой-нибудь функции по Лиувиллю, надо сперва разложить ее в показательный ряд, что не всегда возможно. При этом появляются некоторые дополнительные функции, которые не поддаются дифференцированию. По мнению Летникова, наиболее приемлемым было бы предположение Лиувилля о том, что производная с произвольным указателем является пределом выражения

при бесконечно малом и бесконечно большом причем При этом задача несколько суживается: стоящие в ряду интегралы становятся определенными, взятыми в пределах от до х, и задача становится полностью определенной. Летников использует ее для построения своей теории дифференцирования с произвольным указателем.

Результаты Летникова были подвергнуты критике 15. В связи

с этим Летников опубликовал некоторые дополнения в развитие своих идей.

Однако дать полное решение поставленной задачи Летникову не удалось. Действительно, задача интерполирования степенного ряда

допускает бесконечно много решений, лишь одно из которых рациональное. Летников поставил вопрос, имеет ли место аналогичное обстоятельство и для ряда производных, но ответа не нашел.

Значительное развитие теория дифференцирования с произвольным указателем получила в докторской диссертации А. В. Летникова «Исследования, относящиеся к теории интегралов вида (1874 г.). Необходимо отметить также, что исследования Летникова были продолжены и несколько обобщены П. А. Некрасовым.

Попытка создания символического исчисления была сделана в 1886 г. швейцарским математиком Ольтрамаре. Его исследования, подобно исследованиям А. В. Летникова, являются развитием идей Лиувилля и названы функциональным символическим исчислением.

Пусть функция задана в виде экспоненциального разложения в ряд

Эту функцию можно рассматривать как результат некоторой операции выполненной над

Отсюда следует, что справедливы выражения

Таким образом, из каждого уравнения можно вывести функциональные соотношения, умножая оба члена уравнения на и выполняя затем над ними операцию, обозначенную через Таким способом Ольтрамаре получил большое количество формул.

Исследования Ольтрамаре были продолжены его учениками. Однако ими ничего нового не было создано. К концу XIX в. символические исчисления изжили себя: с теоретической точки зрения во всех системах оставалось много неразрешенных вопросов и слабых мест, практические же приложения были крайне ограниченными. Поиски решений дифференциальных уравнений общем виде также перестали привлекать внимание исследователей: быстроразвивающаяся техника конца XIX в. ставила конкретные задачи и ожидала на них быстрого ответа, инженерам нужна была не теория, а практические методы.