§ 4. Об интеграле Бромвича

Теорема 2. Если функция удовлетворяет условиям и если для функции выполняется соотношение

то в любой точке, в которой непрерывна, справедливо равенство

причем указанный интеграл взят вдоль любой прямой, для точек которой где а — показатель роста функции и понимается в смысле

Доказательство. Рассмотрим интеграл

предел которого, как следует доказать, при со равен

Учитывая, что

записываем

Изменяя порядок интегрирования на основании результатов предыдущей теоремы об интеграле Лапласа, интеграл в правой

части последнего равенства можно представить в виде

что, полагая можно записать так:

Рассмотрим сначала второй интеграл из правой части последнего соотношения. Заметим сразу же, что поскольку значения суть такие, в которых по условию функция является непрерывной, то

Теперь запишем

Наша дальнейшая задача состоит в том, чтобы при рассмотрении интегралов правой части равенства (11.11) использовать соответствующие сведения из математического анализа. Рассматривая интегралы

в этом аспекте, можно сказать, что они сходятся. Но интервал от нуля до бесконечности изменения мы разбивали точками произвольно, следовательно, точку можно продвигать к точке 0 и точку — к бесконечности так, чтобы, задавая наперед положительное сколь угодно малое мы получили

Таким образом, пределы этих интегралов, в первом случае при и во втором — при равны нулю.

Рассмотрим теперь интеграл

Интегрируя по частям и имея в данном случае фиксированные получаем при в пределе нуль. Остается найти

Для этого совершим замену Тогда при фиксированном

Учитывая все последние результаты, приходим к выражению

Проводя подобные рассуждения относительно интеграла

переходя к пределу, при получаем

следовательно,

Сводя вместе все полученные результаты, окончательно находим

что и требовалось доказать.

Примечание 1. Оригинал как указано в условиях , рассматривается при значениях Таким образом, формула

(11.10) определяет значения оригинала лишь при Для отрицательных значений оригинал тождественно равен нулю.

Однако, вообще говоря, при по формуле (11.10), если она сохраняет смысл, можно получить для и не нулевые значения, но в этом случае следует помнить, что соотношение (11.10) для представляет собой уже не оригинал, а некоторую иную функцию от

Примечание 2. Теорема 2 доказана для случая, когда непрерывна при всех значениях в интервале от нуля до бесконечности. Следует еще показать, что теорема обращения справедлива и в том случае, когда в рассматриваемом интервале имеются точки разрыва рода. Для этого случая докажем следующую теорему.

Теорема 3. Если функция удовлетворяет условиям и если для функции выполняется соотношение

то изображение вполне определяет оригинал с точностью до его значений в точках разрыва.

Доказательство. В условиях отмечено, что может иметь точки разрыва рода и в каждом конечном интервале изменения аргумента таких точек насчитывается конечное число. Пользуясь изложенным в теореме 2 методом, легко показать, что

На основе теорем 2 и 3 устанавливаем общую теорему об интеграле Бромвича, которая формулируется следующим образом.

Теорема 4. Если функция удовлетворяет условиям и если для выполняется соотношение

то для всех справедливо равенство

с точностью до значений функции в точках ее разрыва, причем указанный интеграл взят вдоль любой прямой, для точек

которой а — показатель роста функции и понимается в смысле