§ 5. Представление решения систем с запаздыванием в виде определенного интеграла
Рассмотрим теперь вопрос о представлении решения дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом в виде определенного интеграла. Вполне очевидно, что если речь идет о представлении в виде определенного интеграла, то, используя решения (V.48), необходимо применить теорему о свертке. Однако при этом следует знать, преобразованием какой функции является каждое из выражений в формуле (V.48). Для этого найдем сначала функцию, преобразованием которой является 
Существование такой функции устанавливается следующим определением.
Определение. Пусть 
— единственная функция, обладающая свойствами
Применяя метод последовательного интегрирования для класса кусочно-непрерывных функций, легко доказать существование и единственность функции 
и показать, что она удовлетворяет оценке (V.31). Поэтому к системе (V.49) можно применить преобразование Лапласа и получить
откуда для всех 
Применяя теорему обращения, получаем
Таким образом, 
является преобразованием функции 
Используя единичную функцию
легко видеть, что
т. е. 
является преобразованием Лапласа функции Применяя теорему о свертке, устанавливаем, что функция
имеет преобразование 
Из соотношения (V.50) получаем
т. e. 
- преобразование функции — Таким образом, выражение 
является преобразованием функции 
Записывая
с учетом, что 
имеет преобразование 
при помощи теоремы о свертке устанавливаем, что выражение
является преобразованием функции
Объединяя формулы (V.51) — (V.53), получаем выражение
которое и является представлением решения системы (V.24) в виде определенного интеграла.
