§ 3. Основная начальная задача. Метод шагов

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где — постоянная величина, характеризующая запаздывание. Зафиксируем некоторое значение и рассмотрим отрезок -Зададим на отрезке -непрерывную функцию Тогда основная начальная задача для уравнения (V.18) заключается в определении непрерывного решения уравнения (V.18) при такого, что при

Функция называется начальной функцией, а отрезок — начальным множеством и обозначается Е.

Поскольку речь идет о непрерывном решении уравнения (V.18), предполагается, что

Одним из методов решения основной начальной задачи для уравнения (V.18) является метод шагов (метод последовательного интегрирования). Сущность его заключается в следующем. Рассмотрим интервал На этом интервале аргумент изменяется на начальном множестве поэтому аргумент функции равен функции Таким образом, на интервале непрерывное решение находится из обыкновенного дифференциального уравнения

Предположив существование решения задачи (V.19) на всем отрезке рассмотрим интервал На этом интервале аргумент изменяется в пределах от до поэтому аргумент фикции равен функции Следовательно, на интервале непрерывное решение уравнения (V.18) находится из обыкновенного дифференциального уравнения

С помощью аналогичных рассуждений непрерывное решение уравнения (V.18) на интервале находится как решение обыкновенного дифференциального уравнения

где решение начальной задачи на отрезке

Методом шагов можно получить решение уравнения (V.18) на любом конечном отрезке, а также доказать существование решения в окрестности при некоторых ограничениях, накладываемых на правую часть этого уравнения. Вполне очевидно, что метод шагов не эффективен в том случае, если запаздывание достаточно мало по сравнению с интервалом, на котором требуется найти решение. Кроме того, поскольку этим методом трудно установить выражение решения в аналитическом виде, естественно, что его нельзя применить для изучения свойств решений при

Пример. Найдем решение задачи

на интервале если при Применяя метод шагов, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение

интегрируя которое находим

При получаем уравнение

из которого следует

Метод шагов применим также к дифференциальным уравнениям нейтрального типа, однако для таких уравнений начальная функция должна быть не только непрерывной, но и дифференцируемой или кусочно-дифференцируемой.

Отметим некоторые свойства решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, отличные от свойств решений обыкновенных дифференциальных уравнений (Л. Э. Эльсгольц, 1964 г.).

Рассмотрим решение основной начальной задачи для дифференциальных уравнений запаздывающего типа. Для таких уравнений в точке производная решения в общем случае имеет разрыв 1-го рода, в силу того что, интегрируя на интервале уравнения

легко удовлетворить условию но нельзя удовлетворить условию Это можно сделать, лишь специально подобрав функцию с условием

В точке о первая производная решения

является непрерывной функцией, так как правая часть — непрерывная функция в точке в силу непрерывности в точке

Аналогичное сглаживание решений происходит и во внутренних точках интервалов. Действительно, из уравнения (V.19) следует, что если функция непрерывна, а функция непрерывно дифференцируема раз, то решение раз непрерывно дифференцируемо на интервале

Для уравнения нейтрального типа

в отличие от дифференциальных уравнений запаздывающего типа, решения не сглаживаются. Действительно, при из (V.21) для заданной функции получаем уравнение

из которого следует, что в точке

но и в точке решение будет разрывным вследствие разрывности аргумента при т. Это следует из уравнения

полученного из (V.21) методом шагов при Аналогично рассуждая, приходим к выводу, что точки для решения уравнения нейтрального типа являются точками разрывов. Поэтому, если говорят, что функция является решением уравнения нейтрального типа, имеют в виду, что она удовлетворяет этому уравнению на интервалах т. е. удовлетворяет уравнению в каждой точке не обязательно в строгом смысле.

Таким образом, если для уравнения с запаздывающим аргументом начальная функция сглаживается (в том смысле, что если она была только непрерывной, то решение может быть, при соответствующих свойствах функции какое угодно число раз непрерывно дифференцируемым), то решение дифференциального уравнения нейтрального типа сохраняет степень гладкости начальных значений.

Уравнения с опережающим аргументом в общем случае теряют запас гладкости, который имела начальная функция. Действительно, рассмотрим уравнение

Используя метод шагов, на первом шаге получаем

Предположим, что функция дифференцируема необходимое число раз, а дифференцируема раз. Продифференцировав (V.22) раз, устанавливаем, что решение (V.22) дифференцируемо лишь раз.