§ 3. Новые идеи в операционном исчислении

В книге, задуманной как история математики для нематематиков, Белл с присущим ему остроумием набрасывает эскиз истории операционного исчисления под хлестким заголовком «Символическая комедия в трех актах». Нельзя отказать ему в справедливости: трудно подыскать более точную периодизацию для математической теории, развивавшейся, в сущности, «на задворках» математики и только в середине третьего десятилетия XX в. попавшей в число ортодоксальных дисциплин, относящихся к прикладной математике. Началом третьего периода можно считать приблизительно 1926 год: в работах П. Леви и Джеффриса были «реабилитированы» методы Хевисайда и операционное исчисление появилось в числе обязательных курсов в некоторых высших технических школах. Джеффрис первый заметил некоммутативность операций Хевисайда с операторами дифференцирования и интегрирования, приводившую часто к неверным результатам. Однако и преобразование Лапласа, исходя из которого строилась строгая форма операционного исчисления после Хевисайда, имело свой недостаток, также отмеченный Джеффрисом, а именно: 1) функция

отличается от функции по размерам; 2) метод преобразования Лапласа не предусматривает тех случаев, когда самым легким способом решения задачи является прямое интегрирование; 3) в уравнении (1.34) предполагается, что функция известна или она удовлетворяет заданному дифференциальному уравнению в пределах от нуля до бесконечности, что не соответствует условиям любой физической задачи; отсюда возникает вопрос о необходимости поисков лучшего обоснования операционного исчисления.

Во второй половине 20-х годов были начаты исследования в направлениях обоснования и усовершенствования методов исчисления. Коисуми разработал (1929-1936 гг.) метод численного определения оригинала по заданному изображению. Этот метод заключается в следующем. Неизвестная функция умножается на При достаточно большом эта функция оказывается сведенной к нулю. Построив затем периодическую функцию в виде ряда Фурье в выбранном промежутке с коэффициентами, вычисляемыми по заданному изображению, можно получить искомую функцию.

Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов усовершенствовали операционное исчисление, обосновав его применимость для решения задач, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных производных. Это обобщение дало возможность применить операционное исчисление к нелинейным задачам математической физики. Н. М. Крылов подчеркивал особенное значение операционного исчисления для решения технических задач. Он писал: «Наибольшее преимущество символического, или, иначе, операционного, исчисления состоит в удобстве и быстроте вычисления. Это проявляется особенно отчетливо, когда приходится (например, во многих вопросах электротехники, которые связаны с распределением тока в цепях) решать систему дифференциальных уравнений. Не будет излишним также подчеркнуть, что один из методов операционного исчисления, а именно так называемый метод степенных рядов Хевисайда, дает возможность избежать необходимости решения характеристических уравнений (соответствующих данным дифференциальным уравнениям), которые во многих приложениях бывают уравнениями высоких степеней.

Кроме того, особенно удобно применять метод операционного исчисления в тех практически важных случаях, когда коэффициенты дифференциальных уравнений в частных производных не зависят от той независимой переменной, к которой применяется символический метод...

Лишь... в работах Карсона, Джорджи, Бромвича, Марча

и др.... обращено надлежащее внимание на связь методов операционного исчисления с теорией контурных интегралов в теории функций комплексного переменного, причем, на наш взгляд, обоснована лишь задача применения операционного исчисления к дифференциальным уравнениям в обычных производных.

Вот почему... мы считаем необходимым теоретически обосновать методы операционного исчисления и подчеркнуть связь этих методов с важной для практики задачей приближенных решений».

Применяя методы операционного исчисления для интегрирования систем дифференциальных уравнений в частных производных, Н. М. Крылов исходит из формулы

из которой следует

Затем он допускает, что

и, следовательно,

После ряда преобразований Крылов устанавливает, что в случае дифференциальных уравнений в частных производных при учете ограничения, заключающегося в том, что интеграл уравнения вместе со своими двумя первыми производными возрастает на бесконечность не быстрее экспоненциала операционный метод приводит к интегралу

или в символической записи к выражению

При этом не является рациональной функцией , поэтому при интерпретации символических выражений (1.42), т. е. при

вычислении интеграла (1.41), теорему разложения Хевисайда, метод степенных рядов и другие методы операционного исчисления непосредственно применять нельзя. Все же, ограничивая соответственно функцию можно обобщить теоремы Хевисайда и на более широкие классы уравнений в частных производных.

Н. М. Крылов и Н. Н. Боголюбов вводят в рассмотрение оператор поворачивающий полную фазу гармонической функции, т. е. на 90° в положительном направлении. Целая степень этого оператора определяется как -кратное последовательное применение оператора к некоторой гармонической функции:

При постоянных коэффициентах имеет смысл полиномиальный оператор вида

Тогда

Вводимый таким образом оператор подчиняется основным законам алгебры в преобразованиях, не зависящих от времени и линейных относительно гармонических функций.

Далее, по определению где — любая гармоническая функция, так как символически

В частности, произвольную (не зависящую от времени) функцию оператора можно представить в виде

поэтому, если

то

или в иной форме

Рассмотрим некоторую гармоническую функцию

и запишем ее в виде

Выражение называется комплексной амплитудой гармонической функции Если для гармонических функций справедливо соотношение

то их комплексные амплитуды и удовлетворяют уравнению

Это уравнение можно обобщить для соотношений вида

Следовательно, при различных операциях с гармоническими функциями, линейных относительно этих функций и не зависящих от времени, гармонические функции можно заменять обычными комплексными числами.

В 30-х годах вопросами операционного исчисления занимались А. М. Данилевский и А. М. Эфрос. А. М. Данилевский, инженер-электрик по образованию, с 1935 г. работал в Математическом институте Харьковского университета. Он обладал большой и разносторонней математической эрудицией. В этот период Данилевский опубликовал ряд исследований, в частности работу «О численном решении волнового уравнения» (1937 г.). А. М. Эфрос также был сотрудником Математического института Харьковского университета. Он окончил Харьковский электротехнический институт, защитил кандидатскую и докторскую диссертации и получил звание профессора. Его исследования относятся к области операционного исчисления. А. М. Данилевский и А. М. Эфрос опубликовали в 1937 г. большую работу по операционным методам «Операционное исчисление и контурные интегралы».

В своих исследованиях Эфрос и Данилевский исходили из операционного исчисления Хевисайда в той его форме, которая была разработана Карсоном. Так, в работе «Некоторые применения операционного исчисления к анализу» (1937 г.) Эфрос значительно дополняет соотношения, выведенные Карсоном, Ван-дер-Полем и другими учеными. Для этого он пользуется различными методами и способами операционного исчисления, которые сводит в основном к следующим: применение теоремы Бореля (обычной и обобщенной); суммирование изображений и начальных функций; применение рядов изображений и рядов начальных функций; дифференцирование и интегрирование символических соотношений по определенному параметру; смешанные преобразования; вычисления интегралов с помощью введения параметров, преобразуемых символически.

Сводка методов, приводимая Эфросом, в достаточной степени характеризует основные направления развития классической теории операционного исчисления в начале второй половины 30-х годов. Эфрос приводит следующий пример применения теоремы Бореля.

Пусть задано операционное уравнение

тогда решение уравнений

имеет вид

В 30—40-х годах операционное исчисление получило дальнейшее развитие. А. И. Плеснер, занимавшийся спектральной теорией линейиых операторов, своеобразно обосновал операционное исчисление. В. А. Диткин обобщил результаты Плеснера. Известно, что в общей теории линейных операторов широко используются «функции от операторов». Устанавливается принцип соответствия между некоторым множеством функций и некоторым классом операторов: каждой функции из данного множества функций соответствует определенный оператор причем единичной функции соответствует единичный оператор Е и функции — оператор А. Строго говоря, речь идет об изоморфизме между некоторым классом операторов и некоторым классом функций, когда единичной функции соответствует единичный оператор, функции — сам оператор А, а сумма и произведение функций — сумме и произведению соответствующих операторов. С помощью преобразования Лапласа осуществляется соответствие между некоторым множеством функций комплексного переменного и множеством опеоаторов 36.

Выше отмечалось, что использование преобразования Лапласа суживало границы применимости методов операционного исчисления. Поэтому Я. Микусинский решил возвратиться (1950— 1952 гг.) к первоначальной операторной точке зрения, отказавшись от преобразования Лапласа. Он исходит из выражения

и, как и Хевисайд, приходит к операционному исчислению прямым алгебраическим путем, однако этот путь строго обосновывает. При этом Микусинский исходит из алгебры над функциями, в которой роль умножения выполняет свертка.

Операционное исчисление по Минусинскому также не лишено недостатков. Полный отказ от интеграла Лапласа оказался нецелесообразным, так как затруднил получение некоторых операционных формул. Поэтому были предприняты попытки избежать появившегося затруднения. Так, М. Раевский вместо исходного выражения Минусинского принимает более удобное выражение

При умножении этого выражения на некоторую постоянную функцию производится действие, не отличающееся от обычного умножения на с. Кроме того, при использовании выражения Раевского не изменяется размерность, тогда как у Минусинского время изменяло размерность. Операционное исчисление, развитое на основании этого выражения, полностью соответствует исчислению, основанному на преобразовании

В основу рассуждений Минусинского было положено понятие об операторах, названных позднее его именем. Теория этих операторов была создана им в 1950-1952 гг. Они представляют собой род дробных чисел типа где и — функции в пределах . При этом деление принимается как действие, обратное свертке. Если обозначить свертку двух функций через

При разработке идей Минусинского значительные результаты получены польскими и немецкими учеными. Микусинский рассматривал свои операторы первоначально на бесконечном интервале. В конце 50-х годов уже была разработана теория операторов на конечном интервале, построение которой оказалось аналогичным построению теории операторов на бесконечном интервале. При этом возникли новые затруднения с обоснованием теории.

Теория операторов на конечном интервале дает возможность решать классические уравнения в частных производных с постоянными коэффициентами. Появилась также возможность решать их в областях, где переменная принадлежит конечному интервалу,

валу, и доказывать в этих областях теоремы существования и единственности решения задачи Коши и смешанной задачи.

Алгебраическая трактовка операционного исчисления, предложенная Микусинским, расширила возможности применения операционных методов. «В классе функций, для которых существует преобразование Лапласа, — указывает Микусинский, — обе трактовки (трактовка Микусинского и трактовка в форме преобразования Лапласа. - А. Б.) эквивалентны. Однако в классе функций, определенных в конечном интервале, преобразование Лапласа и никакое другое линейное преобразование не приводит трансцендентные задачи к задачам алгебраическим. В самом деле, никакое преобразование не может перевести свертку где в первой половине данного интервала, в обычное умножение, потому что эта свертка равна нулю».

В теории автоматического регулирования при решении задач с помощью преобразования Лапласа обычно не различаются области оригинала и изображения. Строго говоря, при построении операционного исчисления с помощью свертки Микусинского или свертки Раевского их следует различать. В этом случае предпочтительнее последний способ, так как тогда размерность оказывается инвариантной, и поэтому полностью допустимо общепринятое в технике регулирование использования области изображения вместо области оригинала.

Возражением против системы операционного исчисления, основанной на свертке Микусинского или Раевского, может служить тот факт, что, поскольку опять является оператором, отпадают все вычислительные методы и асимптотические отношения, в которых использовалось в качестве комплексной переменной. Однако это возражение было снято В. А. Диткиным. Он показал, что оператор Микусинского может быть отождествлен с комплексной переменной, а следовательно, операционное исчисление, построенное с помощью преобразования Лапласа, является частным случаем алгебраического операционного исчисления.

В XVIII в. в работах, посвященных решению задачи Эйлера о разыскании общего вида линии, подобной своей эволюте, появились дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Однако систематическое изучение этих уравнений началось лишь в XX в., в связи с потребностями прикладных наук, и в первую очередь теории автоматического регулирования. В последние годы область приложения дифференциальных уравнений значительно расширилась и охватывает вопросы не только физики и техники, но и экономики (например, вопросы циклов в судостроительной

промышленности, распределения продукции в соответствии с потребностями покупателей), биологических наук (например, вопросы распространения эпидемий, регенерации живых клеток под действием лучей). В связи с этим возрос интерес к теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся, особенно с запаздывающим, аргументом. Большинство выполненных исследований по теории дифференциальных уравнений с. отклоняющимся аргументом подытожено в ряде монографий и обзоров.

Во второй половине 40-х годов были опубликованы исследования по операционному исчислению И. 3. Штокало. В них операционное исчисление обобщено на новые классы линейных дифференциальных уравнений — уравнений с периодическими, квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами. Эти обобщения имеют весьма важное значение как в направлении дальнейшего развития самой теории операционного исчисления, так и в направлении ее практических приложений. Результаты И. 3. Штокало значительно расширили возможности операционного исчисления: создана теоретическая основа для обобщения операционных методов на новые классы дифференциальных уравнений и для применения этих методов при решении многих важных задач математики, механики, физики и техники.

Продолжением исследований И. 3. Штокало по линейным дифференциальным уравнениям с квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами являются две его монографии: «Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами» (1960 г.) и «Операционные методы и их развитие в теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами» (1961 г.). В первой изложены результаты автора по установлению эффективных критериев устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами, во второй подытожены исследования по обобщению операционных методов на линейные дифференциальные уравнения с квазипериодическими и почти периодическими коэффициентами, а также на наиболее общий класс — с ограниченными коэффициентами.

В 40—60-е годы было выполнено много работ по применению операционного исчисления для решения конкретных практических задач. Так, в исследованиях Б. В. Булгакова и А. И. Лурье рассматриваются вопросы приложения операционного исчисления к некоторым задачам механики. Вопросам численного обращения преобразования Лапласа уделяет внимание в своих работах В. И. Крылов и др. Исследования М. И. Конторовича посвящены

применению операционных методов при рассмотрении нестационарных явлений в электрических цепях, М. Ю. Юрьева, К. А. Круга и Э. А. Мееровича — различным приложениям операционного исчисления в области электротехники, С. И. Евтянова — в радиотехнике, А. В. Лыкова — в теплотехнике, А. Я. Повзнера — в математической физике.

Одной из областей применения методов операционного исчисления является теория автоматического регулирования. Важные результаты были получены еще А. А. Андроновым и его учениками. Применение операционного исчисления в теории автоматического регулирования развивается в различных направлениях, в частности при решении задач горной механики. Так, О. М. Крыжановский рассматривает вопросы применения операционного исчисления к анализу работы автоматического регулятора шахтной подъемной машины, О. А. Залесов применил операционное исчисление к теории работы шахтной опрокидной клети.

Важные результаты в области теории и приложений операционных методов получены К. Г. Валеевым и его учениками. Некоторые их исследования являются дальнейшим развитием методов, разработанных И. 3. Штокало.

В настоящее время операционное исчисление и его многочисленные приложения получили очень широкое распространение как в Советском Союзе, так и за рубежом и стали одной из актуальных областей прикладной математики.