§ 2. Основные понятия и определения

Будем рассматривать комплексную функцию от действительного переменного при следующих предположениях:

а) функция однозначна и непрерывна вместе со своими производными до порядка включительно для всех значений за исключением тех, в которых она и ее производные имеют разрывы рода, причем точек разрыва в каждом конечном интервале изменения имеется конечное число;

Рис. 1.

б) функция возрастает медленнее некоторой экспоненциальной функции, т. е. всегда можно указать такие независимые от положительные величины что, каково бы ни было положительное значение выполняется неравенство

Постоянная величина а называется показателем роста функции

в) функция тождественно равна нулю для всех значений

Указанные три условия, налагаемые на функцию будем в дальнейшем называть условиями (от латинского слова — начало).

Функция называется начальной функцией, или оригиналом. В случае просто ограниченности функции как видно из последнего неравенства, показатель роста ее, естественно, равен нулю.

Иногда вводят в рассмотрение так называемую единичную функцию удовлетворяющую условию (рис. 1)

Очевидно, что, умножив на любую функцию удовлетворяющую условиям но не удовлетворяющую условию получим в произведении функцию, для которой выполняются все три условия. Например, функция не удовлетворяет условию но уже удовлетворяет этому условию и, следовательно, удовлетворяет всем трем условиям.

Рассмотрим теперь интеграл Лапласа вида

где — комплексная величин а.

Функция от комплексного переменного р, определяемая соотношением (II.3), называется изображением (по Лапласу) функции или преобразованной функцией. Интеграл (II.3) является определяющим, поскольку определяет функцию

Некоторые исследователи рассматривают получение изображения функции при помощи преобразования Лапласа с множителем р. Таким образом,

Здесь — изображение (по Карсону) функции

Можно также, как это делает Ван-дер-Поль, получать изображение оригинала применяя двусторонний интеграл Лапласа

или соответственно

В этих случаях на функцию не налагается третье условие (о), следовательно, она в данном случае не является оригиналом. Мы будем пользоваться изображением по Лапласу, имея в виду общность преобразований Фурье и Лапласа, которая связывает операционное исчисление с гармоническим анализом. Это обстоятельство обогащает операционное исчисление, использующее изображение по Лапласу, физическим смыслом. Например, под такого рода изображением понимается спектральная функция по отношению к затухающей функции, содержащейся под знаком данного интеграла.

В операционном исчислении рассматривается также обратная задача, т. е. по заданной функции находят В Этом случае формула обращения для (II.3) представляется в виде

где интеграл взят вдоль прямой, параллельной мнимой оси и проходящей справа от последней на расстоянии а. Этот интеграл является интегралом обращения. Он введен в операционное исчисление английским математиком Бромвичем, но был известен значительно ранее немецкому математику Риману, а затем

финскому математику Меллину, который дал ему строгое математическое обоснование.

Формула обращения для соотношения (II.4) соответственно имеет вид

Связь между функциями а также между символически записывают так:

где в символическом равенстве точки проставлены по отношению к знаку равенства вверху и внизу, с направленностью от оригинала в сторону изображения. Можно также записать

или

(стрелки направлены от оригинала к изображению).