ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ОБОБЩЕННОГО СИМВОЛИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ, КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ОГРАНИЧЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Теория линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами в работах советских ученых развивалась в направлении применения асимптотических методов и обобщения операционного метода на этот класс уравнений. Результаты исследований дали возможность применять асимптотические методы к широкому классу линейных дифференциальных уравнений, включая уравнения с периодическими, почти периодическими, квазипериодическими и ограниченными коэффициентами.

В данной главе рассматриваются проблемы, относящиеся к операционным методам. Исследуются вопросы развития операционных методов в теории линейных дифференциальных уравнений для достаточно общего класса линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, обобщение операционного исчисления на эти классы уравнений и важные приложения полученных результатов. Впервые нами это было осуществлено в ряде работ по операционному исчислению, включая монографию по этим вопросам.

§ 1. Линейные дифференциальные уравнения с коэффициентами, мало отличающимися от постоянных

Если коэффициенты линейного дифференциального уравнения мало отличаются от постоянных, то исследование его решения можно свести к исследованию решения уравнения с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим дифференциальное уравнение вида

где А — постоянная матрица, — матрица с почти периодическими или квазипериодическими элементами, С — постоянный

вектор, комплексные параметры, причем второй из них по модулю достаточно мал. Будем искать решение уравнения (IV. 1) при условии, что вещественные части корней характеристического уравнения

(Е — единичная матрица) не совпадают с вещественной частью параметра р. Допустим, что решение имеет вид

где — некоторый вектор, зависящий от Тогда, обозначив через получим

Пусть — интеграл уравнения

который при обращается в единичную матрицу. Как известно,

(матрицы — полиномы по отношению к Согласно принятому условию

Поэтому возможны два случая:

или

Обозначим части суммы (IV.6), для которых выполняются неравенства (IV.8), {IV.9), соответственно через Тогда

причем

Заметим, что

где некоторые константы:

Докажем существование и единственность ограниченного относительно решения уравнения (IV.4) вида

Лемма l. Если вещественные части корней характеристического уравнения (IV.2) и параметра не совпадают, то уравнение (IV.4), где имеет единственное решение, ограниченное на всей вещественной оси, а именно (IV .14).

Доказательство. Докажем прежде всего, что выражение (IV.14) представляет собой решение уравнения (IV.4). В самом деле, представив выражение (IV. 14) в виде

видим, что дополнительные интегралы

являются решениями уравнения (IV.5), вследствие чего (IV. 15), или, что то же самое, (IV. 14), является решением уравнения (IV.4).

Докажем далее, что решение (IV. 14) ограничено. Имеем

Принимая во внимание ограниченность на всей вещественной оси матрицы получаем

Полагая теперь имеем

Однако в силу неравенств (IV.12), (IV. 13) оба интеграла правой части неравенства (IV. 16) сходятся. Поэтому

что свидетельствует об ограниченности решения Нетрудно установить таким же способом ограниченность всех производных от

Докажем, наконец, что — единственное ограниченное решение. Всякое решение уравнения (IV.4) имеет вид

Однако выражение может быть ограничено в интервале лишь в том случае, если В тождественно равно нулю, так как вещественные части параметра и корней характеристического уравнения (IV.2) не совпадают. Поэтому т. е. единственность решения втда (IV. 14) установлена.

Докажем существование единственного решения вида

уравнения (IV. 1)

Теорема Если вещественные части корней характеристического уравнения (IV.2) и параметра не совпадают, то уравнение (IV.1), где -ограниченная на всей вещественной оси матрица, имеет единственное решение вида (IV.17), где

Доказательство. Рассмотрим интегральное уравнение

где

и докажем существование решения методом последовательных приближений Пикара. Считая нулевым приближением вектора определяем первое его приближение

Поскольку

то

где

Аналогично строим второе приближение:

Из (IV. 19) и (IV.20) получаем

Покажем, что подобное неравенство справедливо для любого целого положительного

Допустив справедливость неравенства для т. е.

сразу же получаем

откуда видно, что это неравенство справедливо для Установим теперь существование предела последовательности

Рассмотрим ряд

Сходимость ряда

при

обусловливает равномерную сходимость ряда (IV.21) на всей вещественной оси при этом же условии.

Таким образом, существует и является вектором, непрерывным на всей вещественной оси относительно Ограниченность решения следует из неравенства

Покажем, что — единственное ограниченное решение уравнения (IV.18).

Предположим, что существует другое ограниченное решение Е. Тогда, наряду с равенством (IV. 18), получим

Отсюда

Если обозначить

то

или

что невозможно, поскольку удовлетворяет неравенству (IV.22). Поэтому остается принять, что чем и устанавливается единственность ограниченного решения

Покажем, далее, что (IV. 17) является решением уравнения (IV.18). Обозначив равенство (IV.18) можно переписать в виде

основании леммы 1 замечаем, что является решением дифференциального уравнения

поэтому

т. е. получаем уравнение (IV. 1),

что и требовалось доказать.

Остается доказать, что уравнение (IV. 1) не имеет другого решения вида (IV.17).

Предположив существование другого решения

мы получили бы

Но по лемме 1 такое решение можно представить в виде

т. e. вектор должен удовлетворять интегральному уравнению (IV.18). Поскольку последнее, как нами установлено, имеет единственное ограниченное решение, то что и требовалось доказать.