§ 7. Дифференцирование изображения (Вид оригинала, соответствующего производной от первоначального изображения F(p))

Имеем соотношение

Каким будет новый оригинал, соответствующий производной от Таким образом, мы подходим к теореме дифференцирования изображения.

Теорема 10. Если

и если новым изображением взять производную порядка от или, вообще, производную порядка этой функции, то

и соответственно

Доказательство. Как известно из теоремы 1, изображение является аналитической функцией для всех значений р, действительные части а которых превосходят показатель роста а оригинала Можно отметить также, что интеграл Лапласа и все интегралы, получающиеся из него с помощью дифференцирования по р, сходятся равномерно относительно в любой полуплоскости Таким образом, дифференцирование под знаком интеграла по параметру законно. Получаем

или в символической записи

Как видим, дифференцированию изображения один раз по соответствует умножение оригинала на а -кратному дифференцированию первоначального изображения — умножение первоначального оригинала на

Пример 1. Впоследствии будет выведено операционное соотношение

Найдем оригинал, соответствующий изображению, представляющему первую производную по от

Согласно теореме дифференцирования изображения в этом случае

Пример 2. Найдем операционное соотношение для Получим

Обычное равенство имеет вид

Пример 3. [Каким будет операционное соотношение для По выведенной формуле для дифференцирования изображения в данном случае получится

В записи с интегралом Лапласа это выражение имеет вид