§ 2. Вид формального решения рассматриваемого уравнения

Рассмотрим эффективное построение решения уравнения (VI 1.3) в случае

где — постоянные коэффициенты. А. М. Ляпунов показал, что линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами можно приводить посредством линейной подстановки также с периодическими коэффициентами к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. С этими его исследованиями тесно связана известная теорема Флоке, по которой решение линейного дифференциального уравнения с периодическими коэффициентами может быть представлено в виде

где — характеристический показатель, -периодическая функция. Нашей задачей является обобщение подобных результатов на квазипериодические функции. В связи с этим нами рассмотрен случай, когда переменные части коэффициентов уравнения образованы конечными суммами вида посредством которых квазипериодические функции аппроксимируются равномерно на всей вещественной Ограничение в представлении функций в виде конечных тригонометрических сумм наложено для того, чтобы ряды, получающиеся при степенях были конечными суммами, что позволяет сосредоточить внимание на изучении формального разложения как целого, не уделяя специального внимания вопросу о существовании его коэффициентов. Для сокращения изложения будем называть конечные суммы вида (VII.19) функциями класса 2.

Рассмотрим общий метод построения решения уравнения (VI 1.3) для случая, когда корни соответствующего характеристического уравнения имеют различные вещественные части. Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Формальное решение однородного линейного дифференциального уравнения с коэффициентами, переменные части которых образованы функциями класса 2, имеет вид

где I и предполагаются представленными формально рядами

в первом из которых являются функциями класса 2, а во втором равно одному из корней характеристического уравнения (VI 1.2), по предположению имеющих различные вещественные части.

Доказательство. Покажем, что функции и числа входящие в ряды (V1I.21), могут быть такими, что указанные требования выполняются. Для этого подставим выражение (VII.20) в уравнение (VII.6):

Поскольку для любого дифференциального оператора Р выполняется равенство

последнее уравнение принимает вид

или, если учесть представленные рядами функцию и характеристический показатель .

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях

2) при

т. е.

Обозначим известную функцию через Тогда уравнение (VII.23) примет вид

Поскольку

можно записать

где

Уравнение (VII.24) и наши требования, очевидно, выполняются, если положить

Следует указать, что выражения (VII.25) и (VII.26) имеют смысл в силу принятого условия, по которому корни характеристического уравнения имеют различные вещественные части. Приравняем коэффициенты при

Так как

то из (VII. 27) получаем

Обозначим функцию

содержащую кроме известных величин, входящих в другие известные величины, через Тогда уравнение (VII.28) примет вид

Но поэтому можем записать

где — некоторые постоянные коэффициенты. Уравнение (VII.29) и наши требования выполняются, если положить

Покажем, наконец, что если предложенным способом определить причем все то можно построить где Рассмотрим разложение

в котором коэффициенты при имеют соответственно вид

где — некоторые полиномы Обратим также внимание на то, что в выражении члены от нуля до имеют вид где — некоторые дифференциальные операторы

Таким образом, часть выражения

содержащую члены со степенями до включительно, можно записать

откуда следует, что коэффициент при в (VII.30) имеет вид

последнее выражение представляет собой функцию класса 2.

Приравняем теперь коэффициенты при в левой и правой частях уравнения (VII.22):

Обозначим выражение

содержащее кроме известных величин, входящих в уже найденные величины через Тогда из (VII.31) получим

Поскольку можно записать

где — некоторые постоянные коэффициенты. Уравнение (VII.32) и наши требования выполняются, если положить

Таким образом, возможность построения функций и чисел показана, тем самым установлен вид формального решения

линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами (VI1,4), - содержащими функции класса 2.