§ 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом

Системы с запаздывающей обратной связью. Рассмотрим систему с запаздывающей обратной связью, т. е. систему, которая характеризуется тем, что некоторая величина, подводимая цепью обратной связи на ее вход, в момент времени зависит от состояния системы в предшествующий момент времени где х — постоянная величина. Запаздывание х здесь появляется вследствие того, что нельзя предположить, что воздействие выходной координаты предыдущего звена на вход последующего звена осуществится мгновенно, а для передачи сигнала потребуется некоторое время и это время не столь мало, чтобы им можно было пренебречь.

Рис. 11.

Схематически систему с запаздывающей обратной связью (Я. 3. Цыпкин, 1946 г.) можно изобразить в виде системы с обратной связью, содержащей элемент запаздывания (рис. 11). Тогда дифференциальное уравнение системы I можно записать в виде

где - оператор дифференцирования, — полиномы оператора Поскольку цепь обратной связи состоит из двух элементов: обратной связи и запаздывания, имеем уравнение элемента обратной связи

и уравнение запаздывания

Исключив из уравнений получим уравнение разомкнутой системы

откуда, положив легко можно получить уравнение системы с запаздывающей обратной связью

или, расписав полиномы

Исследование процесса горения в камере жидкостного ракетного двигателя. При исследовании процессов горения в жидкостных ракетных двигателях вполне естественно использовать предположение о том, что между впрыском компонентов и сгоранием топлива существует некоторое время запаздывания:

где — массовая скорость горения, — массовая скорость впрыска. Пусть

где — стационарная скорость впрыска, — малое возмущение расхода.

Из уравнения газового состояния (для камеры сгорания) для количества продуктов сгорания получаем

откуда, если предположить, что малые отклонения давления не вызывают изменения температуры в камере сгорания,

Пусть — массовая скорость истечения. Тогда уравнение баланса массы для камеры сгорания имеет вид

откуда

С другой стороны,

поэтому

Далее,

где — давление впрыска.

Перепад давления между баком и камерой состоит из перепада на головке двигателя , потери на трение и инерции жидкости в трубопроводе, поэтому

где — коэффициент трения, — скорость потока, — удельный вес жидкости, — длина трубопровода. Пусть а — площадь поперечного сечения магистрали, тогда

и в силу (V.15)

Считая отклонение малым и пренебрегая величиной для получаем уравнение

где

Исследование реакции клеток на рентгеновское облучение. Предположим, что клетки подвергнуты рентгеновскому облучению и поставим перед собой задачу составить уравнения, описывающие некоторые химические реакции в клетках при этом облучения.

Пусть Г — время, концентрация вещества, подвергнутого облучению, нормальная равновесная концентрация этого же вещества при отсутствии облучения. Предположим, что облучение продолжается в течение времени (начинается при а затем прекращается. Предположим также, что клетки обладают способностью восполнить недостаток или устранить излишек этого времени, но их реакция происходит с запаздыванием, равным . Тогда

Согласно Зиверту (1941 г.), процессы описываются уравнениями

где — постоянная облучения, зависящая от степени облучения, -постоянная, характеризующая реакцию клетки на отклонение от равновесной концентрации