§ 6. Дифференцирование оригинала (Вид изображения, соответствующего производной от исходного оригинала f(f))

Имеем соотношение

Каким будет новое изображение, если под знаком интеграла вместо поставить производную от этой функции? Таким образом, мы подходим к теореме дифференцирования оригинала. Теорема 9. Если

и если новым оригиналом взять производную первого порядка от или, вообще, производную порядка от этой функции, то

и соответственно

где в случае разрывов рода в точке

Доказательство. Проинтегрируем по частям

Получим

Поскольку является, по условию, оригиналом, то, на основании второго из условий этой функции, имея в виду, что для

второе слагаемое в соотношении (11.20) равно где в случае разрыва рода в точке обозначает Таким образом,

или в символической форме

В частном случае, когда последняя формула приобретает вид

Это означает, что в случае действию дифференцирования оригинала соответствует действие умножения его изображения на .

Для получения символической формулы в случае, когда оригиналом служит производная порядка от выполним последовательно операций, которые были применены при выводе символической формулы для случая, когда оригиналом является первая производная от После соответствующих преобразований получим

или в символической форме

причем в случае разрывов рода в точке под следует понимать частном случае, когда

Отсюда видим, что действию дифференцирования начальной функции соответствует алгебраическое действие умножения изображения на величину , возведенную в соответствующую степень Значит, величина приобретает свойство оператора.

Пример. Преобразуем дифференциальное выражение в обычной записи в операционное выражение

при начальных условиях Для выполнения этого задания обозначим изображение функции через . Тогда при помощи формул дифференцирования оригинала получим

Подставляя в эти соотношения данные начальных условий, находим

Кроме того, учитываем, что для оригинала, равного единице, изображение имеет вид

Окончательно получаем