§ 4. Критерий неустойчивости решения основной системы уравнений

В § 2 установлен критерий сильной устойчивости в положительном направлении решения х основной системы (VI.1). Выведем теперь критерий неустойчивости решения х этой системы. Как и при выводе критерия устойчивости, нам потребуется доказать леммы, устанавливающие связь между вещественными частями корней соответствующего характеристического уравнения и детерминантами Гурвица, относящимися к этому уравнению.

Лемма 8. Всякому можно сопоставить такое что уравнение

у которого все корни по модулю не превышают числа и один из соответствующих детерминантов Гурвица, например отрицателен, имеет корень с положительной вещественной частью со, удовлетворяющей неравенству

Доказательство. Для леммы 5 дано доказательство неравенства (VI.63). Выберем корни равными в случае

отрицательности их вещественных частей и равными соответственно чисто мнимым частям корней в случае положительности вещественных частей этих корней. При таком выборе корней детерминанты на основании вспомогательных результатов, полученных при доказательстве леммы 5, будут неотрицательными. Следовательно,

Тогда, обозначив вещественные части корней через на основании неравенства (VI.63) получим

Пусть и — наибольшая из вещественных частей корней вместо последнего неравенства можем записать

откуда

где

Лемма 9. Всякому можно сопоставить такое что равнение

в котором и для которого один из соответствующих детерминантов Гурвица, предположим отрицателен, имеет корень с вещественной частью со, удовлетворяющей неравенству

Доказательство. Уравнение (VI.86) принадлежит к типу (VI.84), ибо все корни его по модулю не превышают Поэтому на основании результатов, полученных при доказательстве леммы 8, устанавливается лемма 9.

Лемма 10. Пусть Тогда можно указать такое столь малое что при уравнение

имеет корень , для которого

не зависит от .

Доказательство. Применим лемму 9 и положим в ней

где — та же величина, которая нами выбрана при доказательстве теоремы 4. Тогда на основании (VI.71)

Поскольку детерминант отрицателен, на основании леммы 9 должен существовать такой корень для которого

Принимая во внимание (VI.90), последнее выражение можно переписать в виде

Обозначая у через получаем

Лемма 11. Всякому можно сопоставить такое что система уравнений

для которой корни соответствующего характеристического уравнения

с неотрицательной вещественной частью удовлетворяют неравенству

где а — некоторая положительная постоянная, а корни с отрицательной вещественной частью — неравенству

и в которой

имеет при неограниченное решение.

Доказательство. Рассмотрим решение системы (VI.50), обращающееся при в единичную матрицу Е, и представим его в виде

где — части соответствующие корням характеристического уравнения соответственно Очевидно, можно записать

где — замкнутые контуры, содержащие внутри себя лишь корни соответственно с положительной и отрицательной вещественными частями. Подобно тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 4, можно показать, что существует зависящее лишь от такое постоянное К, что

Отметим также, что

откуда

что позволяет записать

Но элементы матрицы в правой части последнего равенства — комбинация из экспоненциалов с положительными вещественными частями, а элементы матрицы в левой части равенства — с отрицательными вещественными частями, поэтому

Аналогично

Приступим теперь непосредственно к доказательству леммы 11. Допустим, что любое решение системы (VI.91) ограничено при Покажем, что всегда можно найти такое для которого предположение об ограниченности решения системы (VI.91) при приведет к противоречию. Этим и будет установлена сформулированная лемма.

Обозначив х через запишем систему (VI.91) в виде

Умножив обе части этого равенства на и проинтегрировав в пределах от до получим

откуда

Но согласно (VI.95)

Следовательно, из (VI.98) получим

Аналогично, умножив (VI.96) на и проинтегрировав в пределах от 0 до можно записать

откуда

Но (VI.95)

Следовательно, из (VI. 101) получим

Сложив (VI.99) и (VI. 102) и заметив, что

запишем

откуда

Учитывая (VI.94), для отсюда получаем

где

На основании (VI.103)

а также

Выберем теперь находящееся в нашем распоряжении так, чтобы Тогда окажется, что а это невозможно, тем самым устанавливается лемма 11.

Лемма 12. Всякому можно сопоставить такое что система уравнений (VI.91), для которой соответствующее характеристическое уравнение

имеет хотя бы один корень с вещественной частью, большей некоторой положительной постоянной которой

допускает неограниченное при решение.

Доказательство. Разобьем полосу, образованную мнимой осью и прямой, параллельной ей и проходящей от нее

на расстоянии на равных по ширине полос, соответствующих интервалам деления:

Обозначим полученные полосы через Очевидно, что хотя бы одна из этих полос должна быть пустой по отношению к корням характеристического уравнения (VI. 104), так как число различных корней этого уравнения не превышает Пусть такой пустой полосой будет Тогда для вещественных частей характеристических корней будет выполняться одно из неравенств

Положим

Тогда

Применим к этому равенству лемму 11. Обозначив корни уравнения

через запишем

Следовательно,

Последнее равенство показывает, что при переходе от корней к корням происходит сдвиг влево на величину Тогда поскольку мы предположили полосу пустой, для гещественных частей корней должно выполняться неравенство

либо

Применяя теперь лемму 11, положим

(Е — единичная матрица). Тогда уравнение (VI.106) будет иметь неограниченное решение у при значит, соответствующее решение х уравнения (VI.91) тем более неограничено, так как оно представлено произведением у и экспоненциала с положительной вещественной частью, т. е. лемма 12 установлена.

С помощью доказанных лемм легко установить критерий неустойчивости решения основной системы (VI.1).

Для вывода этого критерия докажем следующую теорему. Теорема 5. Если в разложениях по степеням детерминантов Гурвица, относящихся к формальной системе уравнений (VI. 10), хотя бы один из первых неисчезающих коэффициентов окажется отрицательным, то можно найти такое что для всех исходная система уравнений (VI. 1) допускает при неограниченное решение.

Доказательство. Доказательство этой теоремы непосредственно следует из лемм 10 и 12. В самом деле, применяя лемму 12 к уравнению (VI.33), принимаем в ней, как обычно,

где — то же, что в лемме 10. Тогда можно найти такое что если система (VI.34) имеет хотя бы один характеристический показатель с вещественной частью, большей то система (VI.33) при

имеет для неограниченное решение. Но согласно лемме 10 можно положить

Тогда неравенство (VI. 107) примет вид

Выберем такое чтобы это неравенство выполнялось при

Очевидно, такое не превышает и удовлетворяет неравенству

Таким образом, для ее уравнение (VI.33) имеет решение неограниченное при Принимая во внимание формулу (VI.32), устанавливающую связь между видим, что основная система уравнений (VI. 1) имеет в данном случае также неограниченное решение. На основании изложенного заключаем, что если хотя бы один из коэффициентов окажется отрицательным, то решение системы (VI.33) для будет неограниченным при В силу соотношения (VI.32) наше заключение справедливо также для решения основной системы (VI.1), тем самым установлен критерий сильной неустойчивости в положительном направлении решения этой системы.

Итак, рассмотрев общую систему линейных дифференциальных уравнений порядка с коэффициентами, переменные части которых пропорциональны малому параметру и являются функциями класса 2, мы построили формальное преобразование, приводящее эту систему к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. У последней коэффициенты представляются формальными рядами, расположенными по степеням е. Построив для нее детерминанты Гурвица и разложив их в формальные ряды по степеням устанавливаем следующее:

1) если первые неисчезающие члены в разложении всех указанных детерминантов положительны, то решение исходной системы обладает сильной устойчивостью в положительном направлении для достаточно малых

2) если хотя бы для одного из детерминантов Гурвица в его разложении первый неисчезающий член отрицателен, то исходная система обладает неограниченным решением при для достаточно малых е.

Установленные критерии устойчивости и неустойчивости решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами рассмотренного вида весьма эффективны и удобны для практического применения.