§ 3. Аналитичность вектора относительно ...

До сих пор мы рассматривали только относительно Между тем вектор зависит также от параметров . Поэтому будем в дальнейшем придерживаться обозначения

Установим аналитичность вектора относительно параметров ей . Докажем сначала аналитичность относительно . Для этого предварительно представим матрицу в виде

где — матрица, удовлетворяющая уравнению

при том же начальном условии, что и для Из (IV.28) видно, что не зависит от . Поскольку

получаем

где и — суммирование соответственно при

Оценим модули Для этого произвольно фиксируем и рассмотрим лишь те значения , для которых

Обозначим наименьшую величину из через Поскольку для

Принимая во внимание соотношение (IV. 29), получаем

Но матрицы являются полиномами относительно и не зависят от . Следовательно, можно получить в интервале равномерную по отношению к оценку в виде

где — абсолютная постоянная.

Применяя эти же рассуждения, для получаем следующие неравенства:

Можно, как и в предыдущем случае, записать

где — абсолютная постоянная. Из полученных неравенств следует

Изложенные в предыдущих параграфах результаты верны для

Представим последнее неравенство в другом виде. Для этого сначала оценим величины

Из этих неравенств получаем

где

На основании неравенства (IV.31) можно утверждать, что изложенные результаты остаются верными для

где . В дальнейшем будем рассматривать изменение векторов при ей , удовлетворяющих неравенству (IV.32).

Перейдем теперь непосредственно к установлению аналитичности вектора относительно .

Как известно, вектор является решением интегрального уравнения (IV.18) и получается как предел равномерно сходящейся последовательности векторов . Принимая во внимание (IV.29), можем записать соотношение (IV.18) в виде

Напомним, что и не зависят от параметра . Положим

Тогда

Видно, что зависит от , но не зависит от поэтому обозначим их через ). Но

причем этот ряд сходится равномерно в области (IV. 32). Отсюда вытекает аналитичность в этой области относительно е.

Для доказательства аналитичности вектора относительно установим аналитичность векторов . Для этого

достаточно показать сущестювание производной .

Дифференцируя формально, получаем

Это соотношение имеет смысл, если интегралы в правой части абсолютно сходятся. Рассмотрим один из них:

Так как

Указанным способом устанавливается абсолютная сходимость и остальных интегралов в выражении (IV. 33).

Таким образом, и, следовательно, действительно существуют и ограничены относительно р. Поэтому являются аналитическими функциями от в области (IV.32) и, как известно, равномерно сходятся к , т. е. аналитичность вектора относительно в этой же области установлена.

Полученные выше результаты можно сформулировать в виде следующей общей теоремы.

Теорема 3. Пусть даны А — постоянная матрица, С — постоянный вектор, и а — положительные числа. Тогда этим величинам можно сопоставить такое что справедливо следующее утверждение:

дифференциальное уравнение в матричном виде (IV.1), в котором на всей вещественной оси комплексные величины, удовлетворяющие неравенству

где

— корни уравнения (IV.2), имеет одно-единственное решение вида (IV.17).

Вектор является по отношению к переменной ограниченным на всей вещественной оси, а относительно параметра — аналитическим в области (IV.34).

Если - квазипериодическая матрица, то вектор — также квазипериодическая функция от с частотами, являющимися линейными комбинациями частот матрицы

Требование малости модуля 8 может быть теперь снято, что дает возможность в выражение

включить любое , удовлетворяющее неравенству (IV.34).

Теорема 4. Любому положительному можно сопоставить такое что справедливо следующее утверждение: дифференциальное уравнение в матричном виде

в котором на всей вещественной оси

имеет одно-единственное решение

где - вектор, ограниченный относительно в интервале - и аналитический относительно параметра в области

Если коэффициенты квазипериодические, то вектор также квазипериодический относительно с частотами, являющимися линейными комбинациями частот коэффициентов

Доказательство. Теорема 4 вытекает из предыдущей, если положить Следовательно,

Итак, для линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, ограниченными на всей вещественной оси, и с правой частью нами получено частное решение вида

причем вектор исследован как функция от .

Весьма интересен вопрос об ограниченности вектора относительно параметра . Рассмстрим дифференциальное уравнение (IV.1),

где А — постоянная -мерная матрица, — матрица, ограниченная на всей вещественной оси, С — постоянный вектор, — комплексные параметры, причем второй из них по модулю достаточно мал.

Примем во внимание две доказанные нами ранее общие теоремы, содержащие результаты, относящиеся к вопросу существования для уравнения (IV. 1) единственного решения вида (IV.17). Установим теперь ограниченность вектора относительно параметра . Перед доказательством соответствующей теоремы выполним некоторые преобразования.

Прежде всего нетрудно убедиться, что вектор является решением уравнения

где Е — единичная матрица. Представим решение этого уравнения в виде

Подставив выражение (IV.36) в уравнение (IV.35), получим

или

Определим теперь функции из уравнений

т.е., другими словами, определим так, чтобы выражение было формальным решением уравнения (IV.35). Тогда из (IV.38) получим

Отметим, что при условии, принятом нами относительно матрицы матрица ограничена на всей вещественной оси. Перепишем (IV. 37) в виде

Но

Поэтому

Положим

Тогда уравнение (1V.39) имеет вид

Возьмем, далее, выражение

с помощью которого уравнение (IV. 40) сводится к виду

Докажем теорему об ограниченности вектора относительно параметра .

Теорема 5. Если вещественные части параметра и корней характеристического уравнения

не совпадают, то в случае ограниченности на всей вещественной оси матрицы уравнение (IV.42) имеет единственное решение вида (IV.41), где

Доказательство. Если бы решение уравнения (IV.42) имело вид (IV.41), то мы получили бы

или, обозначив через

Обозначив через интеграл уравнения

обращающийся при в единичную матрицу, и отметив знаками внизу справа от те его части, для которых выполняется соответственно

или

для уравнения (IV. 43) получим

или

где

Если установить существование единственного ограниченного решения уравнения (IV. 43), то будет доказано существование единственного решения вида (IV.41) уравнения (IV.42).

Для доказательства существования решения уравнения (IV. 43) применим метод последовательных приближений. Будем считать нулевым приближением вектора . Определим первое приближение с помощью выражения

(кликните для просмотра скана)

Покажем справедливость аналогичного неравенства для любого целого положительного т. В самом деле, допустив справедливость неравенства для т. е.

получим сразу

Установим, далее, существование предела последовательности Для этого рассмотрим ряд

Вследствие сходимости ряда при удовлетворяющем неравенству

ряд (IV. 48) сходится равномерно на всей вещественной оси. Таким образом, предел

существует и является непрерывным относительно на всей вещественной оси вектором. Ограниченность относительно в интервале вытекает непосредственно из неравенства

Покажем, наконец, единственность ограниченного в области решения , Предположим существование, наряду с вектором , аналогичного вектора . Тогда

Следовательно,

Обозначая

приходим к выражению

или

что невозможно при выполнении (IV.49). Поэтому

Остается рассмотреть выражение (IV.41). Покажем, что оно представляет собой решение уравнения (IV.42), а затем установим его единственность.

Для доказательства первого вопроса заметим, что

на основании доказанной ранее леммы является решением уравнения

поэтому

т. e. получаем (IV.42), что и требовалось установить.

Для доказательства второго вопроса предположим существование, наряду с решением , также Тогда

Однако на основании упоминавшейся уже леммы решение должно иметь вид

где , т.е. удовлетворять интегральному уравнению

где — то же, что и в (IV.44). Поскольку последнее уравнение, как нами уже установлено, имеет одно-единственное решение, то

чем доказана единственность решения

уравнения (IV.42).

Полученные результаты можно перенести и на системы, не содержащие малого параметра, для чего следует постоянную матрицу А положить равной нулю, а параметр — единице. В этом случае, как показано в теореме 4, вектор заменяется вектором ), имеющим те же свойства по отношению к величинам . Все эти результаты дают возможность непосредственно обобщить символический метод на случай систем линейных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами.