§ 20. Вывод изображений некоторых функций

1. Выведем символическое соотношение

где с — заданная постоянная, -параметр. Получим изображение для оригинала

т. е. (11.126). При из соотношения (11.126) находим

2. Исходя из определения единичнойфункции

11 при

получаем

3. Покажем, что

В самом деле, положив в (11.127) сначала

а затем

и сложив результаты подстановок, получим (11.128). Теперь, выполнив эти же подстановки, при вычитании их результатов получим

(11.129). Формулы (11.128) и (11.129) могут быть представлены также в виде

где При из формул (11.128) и (11.129) получаем

4. Применяя к формулам (11.128) — (11.131) теорему дифференцирования изображения один раз, приходим к символическим соотношениям

При

5. Используя теорему интегрирования изображения и полагая из формулы (11.131) находим

Согласно теореме интегрирования оригинала из (11.136) получаем изображение интегрального синуса

Для интегрального косинуса символическая формула имеет вид

В самом деле, приняв во внимание (11.130) при получаем

или в более удобной для применения в дальнейшем форме

Рассмотрим

Определим постоянную интегрирования из условия

откуда

следовательно,

Для дальнейших преобразований используем символическое соотношение (11.17):

Разделим обе части этого соотношения на параметр с и проинтегрируем их по этому параметру в пределах от нуля до единицы. Тогда

Далее, выполнив замену получим

Применяя этот результат к нашему случаю, приходим к символическому соотношению для интегрального косинуса

Легко также показать, что

6. Докажем, что

где — целое положительное число.

В самом деле, воспользуемся формулой Бромвича

Подынтегральное выражение имеет только одну особую точку, а именно полюс порядка который лежит слева от пути интегрирования. Зная, что интеграл, взятый по пути, лежащему справа от изолированной особой точки, равен интегралу, взятому по пути, находящемуся слева от этой точки, плюс вычет относительно значения особой точки, умноженного на а также учитывая, что получающийся при этом интеграл равен нулю, по правилам вычетов получаем

Таким образом, на основании (11.142) и (11.143) устанавливаем символическое соотношение (11.141).

При

При приходим вновь к изображению единичной функции

7. Выведем теперь символическую формулу

Как известно, Г-функция Эйлера представляется в виде

Возьмем произвольную комплексную величину лежащую в правой полуплоскости, причем , и примем где — некоторая комплексная переменная величина, по которой производится интегрирование. Тогда

где — луч вдоль которого производится интегрирование.

Рассмотрим дугу радиус которой Обозначим на этой дуге Тогда

Нетрудно показать, что

В самом деле, угол принимает значения между нулем и следовательно, Таким образом, интеграл

не превосходящий

стремится к нулю при

Заменим теперь интегралом, взятым вдоль положительной полуоси, что вполне законно, так как между и действительной осью плоскости 2 подынтегральная функция не имеет особых точек. Обозначая переменную вдоль положительной полуоси через получаем

или

т. e. в огерационкой записи (11.145), что и требовалось доказать-Примечание. Для отрицательных значений а, больших

при Однако, как известно, интеграл для этих значений а сходится. Функция в этом случае не является оригиналом, удовлетворяющим условиям (). Но поскольку указанный интеграл Лапласа сходится, то при а, удовлетворяющем неравенству — будем все же считать оригиналом, с прибавлением к нему названия «особый» или «обобщенный». Его изображение будем называть также «особым изображением» или «обобщенным изображением» при —

Для поскольку

Для целых положительных значений из соотношения (11.145) находим

и, принимая во внимание, что

получаем еще раз формулу (11.144).

Легко видеть, что выполняется также символическое соотношение

Отсюда для непосредственно получается символическая формула (11.141).

8. Выведем символические формулы изображения для интегралов Френеля. Из теории функций известно, что эти интегралы представляются выражениями

Вводим в рассмотрение и применяем формулу (11.146) и свойство смещения изображения. Получаем

Применяя к этому символическому равенству теорему интегрирования оригинала, приходим к формуле

Подобным же образом, рассматривая выражение и применяя к нему соответствующие операции, получаем формулу

Если теперь учесть сеойство лкнейности то окажется, что

Значит,

9. В соответствии с формулой (11.127) можно записать

Применяя к этому символическому соотношению теорему интегрирования изображения, получаем

т. е.

10. Для функции Бесселя, или цилиндрической функции рода порядка можем получить символическое соотношение

или

В самом деле, будем исходить из разложения

Переходя формально к оригиналу, получаем

Положим теперь Тогда полученный ряд примет вид

где функция Бесселя рода порядка. Следовательно, можно записать (11.154) или (11.155). Для

11. Выведем сразу же формулу для производной по индексу от функции Бесселя Для этого будем исходить из операционной формулы (11.154) функции Бесселя

Продифференцируем обе части этого операционного соотношения по параметру Получим

В правой части последнего соотношения запишем

Отметим, что оригиналом для изображения будет с (см. § 19). Применяя к последнему выражению теорему умножения

изображений, приходим к символическому равенству

Следовательно,

Произведем замену переменных: После небольших преобразований придем к соотношению

где — новая постоянная.

12. На основании результатов, приведенных в можно получить формулу для функции Бесселя рода нулевого порядка вида . В самом деле, исходя из рассмотренного ранее

Воспользовавшись также формулой операционного исчисления (11.169), при получим непосредственно следующее соотношение:

или

При

или

13. Применяя к (11.160) теорему интегрирования изображения и учитывая, что

приходим к изображению так называемой интегральной функции Бесселя рода нулевого порядка

или

На основании свойства смещения из (II. 158) получаем

или

14. Исходя из некоторых положений математического анализа и теории функций, а также учитывая изложенные в предыдущих параграфах теоремы операционного исчисления, в частности теорему -кратного дифференцирования изображения, можно показать, что для функции Бесселя рода порядка выполняются символические соотношения 7

а также

причем имеется в виду, что целые положительные числа и Видно, что при эти соотношения полностью совпадают:

или в операционной записи

Естественно, что при

или

При из соотношения (11.169) получается (11.158), что было установлено нами раньше исходя из этих же позиций, а (11.158) при приводит к (11.160), что также было показано.

При из формулы (11.167) получается

Можно также записать

В символической записи соотношения (11.172) и (11.173) соответственно имеют вид

Продифференцируем теперь (11.172) по :

Чтобы получить соотношения, получающиеся при интегрировании изображения т. е. чтобы получить формулы для так называемых интегральных функций Бесселя, следует применить формулу приведения их

Для использовав при этом формулы (II. 159) и (11.168), получим

Следовательно,

или

Используя последовательно (11.177), можно получить изображение для т. е. установить, чему равен интеграл

целые, положительные).

Придадим в соотношении (11.168) переменному значение и пусть будут действительными числами, причем Тогда получим для выражений с вещественной и мнимой частями формулы

Если же в соотношении (11.168) вместо величины взять и вместо К взять то придем к таким формулам:

т. е.

При вещественном и положительном условие имеет вид Тогда формула (11.182) в операционной записи примет вид

При из последних двух соотношений получаем

15. Выведем еще одно соотношение, в котором принимает участие функция Бесселя рода нулевого порядка. Пусть

Тогда на основании формулы (11.156) можно записать

Имея в виду, что

применим обобщенную теорему умножения изображений

Тогда

Полагая теперь и учитывая формулу (11.130), при для получаем

Тогда соотношение (11.186) примет вид

или

Итак, мы пришли к соотношениям (11.187) и (11.188), в которые входит функция Бесселя рода нулевого порядка. Из соотношения (11.187) можно получить обычную формулу для бесселевой функции, приняв во внимание (11.131). Легко видеть, что в этом случае

16. Выведем формулу

где — изображение заданного оригинала Пусть

По обобщенной теореме умножения изображений функции связаны соотношением

или в нашем случае

Применяя к (11.191) формулу обращения, получаем

Составим контур, образованный отрезком, соединяющим точки двумя дугами окружности идущими соответственно от концов этого отрезка до точек некоторого двубережного разреза, соединяющегося, в свою очередь, на других своих концах с дугой окружности Пусть при этом Однако поэтому на дугах окружности при Следовательно, если подынтегральная функция, входящая в соотношение (11.192), также стремится к нулю при Поскольку, вследствие аналитичности и однозначности этой подынтегральной функции, интеграл от нее, взятый вдоль отрезка равен интегралу, взятому вдоль остальной части контура, а в последний входят дуги окружности вдоль которых соответствующие интегралы обращаются в нуль при то, таким образом, остаются только интегралы вдоль берегов и вдоль дуги окружности Но при интеграл вдоль окружности стремится к нулю. Интегралы же, взятые вдоль берегов, поскольку на одном из них

а на другом

соответственно имеют вид

Тогда при

Полагая здесь получаем

Применим теперь обобщенную теорему умножения изображений, а именно:

В нашем случае это приведет к операционному соотношению (11.190), т. е. поставленная задача решена.

17. Найдем начальную функцию, изображением которой является выражение

Для этого обозначим через выражение. Тогда можно записать

В нашем случае, если учесть символическое соотношение (11.190),

Удобно здесь ввести замену и положить

Тогда формула (11.195) примет вид

т. e. окончательно получим

где представлен выражением (11.196). Полученное соотношение и является ответом на поставленный вопрос.

18. Установим теперь операционную формулу для выражения

Для этого запишем

и применим к (11.146) свойство смещения. Тогда

Из (11.198) по теореме интегрирования получаем

Произведя в последнем выражении замену приходим к формуле

Объединяя формулы (11.198) и (11.199), получаем

где Правая часть этого символического соотношения представляет собой оригинал, изображение которого было задано в виде

19. В операционном исчислении нередко встречается символическое соотношение

Чтобы вывести это соотношение, найдем оригинал, соответствующий изображению Воспользуемся формулой Бромвича. Обозначим начальную функцию, соответствующую указанному изображению, через Тогда

Выполним замену Получим

при этом, как легко показать (рис. 10), прямая (а) переходит в ветвь гиперболы

Можно также показать, что интеграл по равен интегралу по где — прямая, параллельная мнимой оси, так как интегралы по дугам окружности с центром в начале координат равны нулю, в силу того что в области между и нет

особых точек. Преобразуем выражение (11.203), применив замену

В этом случае

Рис. 10.

Совершим теперь подстановку

Значит,

При подстановке (11.206) прямая переходит в прямую имеющую то же направление, так как и дальше можно заменить любой прямой, параллельной ей, в частности за путь интегрирования можно принять мнимую ось. Следовательно,

Учитывая (11.208) и (11.202), получаем окончательно

или в обычной форме

Применяя к (11.209) свойство подобия (11.16), приходим к формулам

или

Полагая в (11.211) и получаем другим способом (11.146).

20. С помощью символического соотношения (11.211) можно получить некоторые новые операционные формулы. Для этого проинтегрируем раз оригинал, находящийся в левой части указанного соотношения:

Новому оригиналу (11.213) соответствует изображение

Следовательно, символическое соотношение имеет вид

что равносильно символическому равенству

или обычному равенству

При получаем из (11.216)

что равносильно

Для получения из (11.219) еще одного соотношения, вычислим левую часть (11.218), произведя замену Получим

Выполняя в (11.220) подстановку получаем

Сопоставляя (11.218) и (11.221), приходим к выражению

или

Воспользуемся равенством (11.212) для вывода еще одного символического соотношения. Продифференцируем обе его части по параметру X. Такое дифференцирование вполне законно, вследствие хорошей сходимости в этом равенстве интеграла при В результате получим

или

или в символическом виде

21. Выведем операционные формулы для некоторых специальных функций. Для этого рассмотрим сначала уравнение Бесселя

Приняв во внимание преобразование Лапласа

выполним в уравнении (11.226) замену переменных. Для этого составим соответствующую таблицу, основанную на интегрировании по частям и дифференцировании под знаком интеграла Лапласа:

Используя эту таблицу соотношений, из (11.226) получаем

Совершим замену

Тогда получим уравнение

общее решение которого имеет вид

Из (11.230) получим

Рассматривая частные случаи находим следующие значения для Таким образом, из (11.231) получим

Следовательно, так как операционное соотношение имеет вид

где — функция Бесселя рода порядка. Это соотношение было уже получено — (11.170).

22. Исследуем теперь уравнение полиномов Лежандра

Совершим в нем сначала подстановку Получим

Применив к уравнению (11.235) таблицу операционного соответствия придадим ему вид

причем

Можно получить уравнение (11.236) в другом виде. Для этого воспользуемся преобразованием Карсона и составим отдельную таблицу, соответствующую таблице (11.227). Известно, что, обозначив интеграл Лапласа через получим

или по Карсону

Обозначим правую часть равенства (11.238) через . Тогда

Теперь перейдем в таблице (11.227) от функции к функции и внесем в нее выражение (11.239), а также производные от него. Получим такие операционные соответствия:

Преобразовав уравнение (11.236) с помощью таблицы (11.240), т. е. учтя преобразование по Карсону, получим

Можно было сразу применить для преобразования уравнения (11.235) к виду (11.241) таблицу (11.240), но мы использовали предварительно таблицу (11.227), так как операционные уравнения полиномов Лежандра встречаются часто и в виде (11.236). Решение уравнения (11.241) выразится в функциях Бесселя:

Подберем Тогда

Теперь, учитывая (11.237) и (11.243), можем записать операционное соотношение по Карсону

По Лапласу соотношение примет вид

23. Рассмотрим изображение полиномов Лагерра. Как известно, уравнение этих полиномов имеет вид

Преобразуем его к операционному виду с помощью таблицы (11.227):

Применяя же таблицу (11.240), т. е. учитывая преобразование по Карсону, придадим уравнению (11.245) другой операционный вид:

Важное значение имеет операционное уравнение полиномов Лагерра в виде (11.246). Решив уравнение (11.247), получим

Подберем Тогда

Обозначая решение уравнения (11.245) для всех положительных через приходим к операционному представлению полиномов Лагерра по Карсону:

По Лапласу соотношение примет вид

Укажем вид производной от полиномов Лагерра по индексу Продифференцируем (11.250) по параметру

Но

поэтому

Из (II.153) при следует, что

Кроме того,

Применяя теперь к последним двум операционным соотношениям теорему Бореля о произведении двух изображений, а также учитывая символическое равенство для производной от полиномов Лагерра по индексу получаем

Это и есть известное операционное соотношение для производной от полиномов Лагерра по индексу

24. Построим, далее, операционное представление полиномов Эрмита. Дифференциальное уравнение этих полиномов имеет

Преобразуем его к операционному виду. Для этого применим таблицу (11.227) и положим Получим

К другому виду операционного уравнения (11.251) можно прийти, использовав таблицу (II. 240), т. е. с помощью преобразования по Карсону. В этом случае

Решение (11.253) имеет вид

Подбор приводит к соотношению по Карсону

где — полиномы Эрмита для всех положительных По Лапласу это соотношение имеет вид

Несколько видоизменяя уравнение полиномов Эрмита (11.252) и приводя его затем к операционному виду с помощью таблицы (11.240), можно на основании решения этого операционного уравнения получить символическую формулу для а затем установить операционное соотношение для нечетных полиномов Эрмита по Карсону:

По Лапласу соответствующее операционное соотношение принимает вид

С помощью операционных соотношений (11.255), (11.255) найдем таким же способом, как в случае полиномов Лагерра, производную по индексу для полиномов Эрмита. Продифференцируем (11.255) по параметру Получим

Теперь

Но, как было показано для случая полиномов Лагерра,

где

следовательно,

В § 19 (пример 2) получено операционное соотношение

Чтобы воспользоваться этим результатом, преобразуем выражение

Теперь, принимая во внимание соотношение

предыдущее равенство и операционное соотношение для на основании операционной формулы произведения двух выражений можно записать

откуда

25. Установим связь между полиномами Лагерра и Эрмита. Для этого возьмем операционное соотношение для нечетных полиномов Эрмита (11.256) в следующем виде:

Учитывая операционное соотношение для полиномов Лагерра (11.250), а также символическое равенство (11.146) и применяя теорему Бореля о произведении двух изображений, из (11.257) получаем следующее равенство:

Произведя в нем замену переменных, придем к соотношению

26. Полезно запомнить операционные изображения интегралов Френеля Как известно, эти интегралы имеют вид

Воспользуемся формулами Ломеля, показывающими соотношение между интегралами (11.260) и функциями Бесселя:

Но для выведено изображение (11.233). При

операционное соотношение (11.233) представляется в виде

Тогда, применяя теорему интегрирования оригинала и, следовательно, операционное соотношение (11.25), получаем изображения интегралов Френеля в виде

Операционные соотношения для интегралов Френеля были получены ранее — (11.151) и (11.152). Теперь они имеют внешне несколько иной вид.

Найдем квадраты изображений интегралов Френеля Обозначив выражения, стоящие в правых частях операционных соотношений (11.263), соответственно через применим частный случай произведения двух изображений. Тогда получим

Выведем формулу свертки интеграла Френеля через бесселевы функции. Для этого рассмотрим выражение

Далее применим теорему Бореля произведения двух изображений к каждому из множителей членов правой части этого равенства:

Для соответствующего оригинала получим выражение

При этом для преобразования правой части последнего равенства были использованы формула Тринити

а также формулы приведения бесселевых функций

при

при С другой стороны, на основании (11.264)

Тогда, объединяя последнее равенство с выражением (11.267), получаем

Это и есть выражение свертки интеграла Френеля через соответствующие функции Бесселя.

27. Найдем теперь свертку полиномов Лагерра Обратим внимание на вид операционного изображения этих полиномов по Лапласу. Обозначим правую часть данного операционного соотношения через Тогда

Отсюда, применяя частный случай произведения двух изображений, получаем

На основании операционных соотношений (11.271), (11.27 Г)

т. e. задача решена.

Найдем соотношение между сверткой полиномов Эрмита нечетного порядка и сверткой полиномов Лагерра. Обозначив правую часть операционного соотношения (11.256) через можно записать

Следовательно,

Применяя к (11.273) частный случай теоремы Бореля, получаем

С другой стороны, на том же основании из (11.274), учитывая (11.144) при находим

Сопоставляя (11.275) и (11.276), приходим к следующему соотношению:

что и требовалось в нашей задаче.

28. Интересны операционные соотношения, относящиеся к функциям Вебера, т. е. к функциям параболического цилиндра. Рассмотрим случай, когда принимает целые положительные значения.

Из математического анализа известно, что функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению порядка, называемому уравнением Вебера:

Эта функция играет важную роль в теории потенциала, в задачах, связанных с параболическим цилиндром. Она является однозначной функцией от своего аргумента во всей плоскости Эрмит показал, что, если имеет целые значения,

В операционном исчислении пользуются формулой Гольдштейна

Поставим следующую задачу: с помощью операционного исчисления установить соотношение между функциями Вебера и полиномами Лагерра.

Используем операционную формулу Гольдштейна (11.280), обозначив левую ее часть через и операционное соотношение

Применим к теорему произведения изображений:

Но в левой части последнего соотношения можно выделить

что, как известно, представляет собой изображение полиномов Лагерра

Воспользовавшись символическим равенством (11.282) и теоремой Бореля, мы сразу приходим к соотношению между функциями Вебера и полиномами Лагерра:

Можно еще рассмотреть соотношение между функциями Вебера и полиномами Эрмита. Для этого воспользуемся символическим равенством (11.281) и изображением полиномов Эрмита

Тогда на основании (11.281) и (11.284)

или

что представляет собой соотношение между функциями Вебера и полиномами Эрмита.

29. Рассмотрим разложение функции аналитической в области, содержащей начало координат, в ряд по функциям Бесселя целого порядка. В качестве такой функции возьмем

Получим

где от не зависят. Найдем условия для функций в предположении, что правая часть (11.286) является равномерно сходящимся рядом аналитических функций. Эти условия дадут возможность полностью определить функции и ряд (11.286) будет действительно сходиться к

Такие функции рассматривал К. Нейман, поэтому в математической литературе их иногда называют функциями Неймана. Об этих же функциях говорится подробно в «Курсе современного анализа» Е. Т. Уиттекера и Г. Н. Ватсона

Возьмем полным образом производную по и по от

Но тогда

Совершим замену

после чего вместо (11.287) запишем

Следовательно, функции определяются рекуррентными формулами

Положив в первоначальном разложении придем к уравнению

Таким образом, функция является полиномом степени от .

Можно, далее, легко показать, что

при

В самом деле, положим сначала Тогда из (11.290) получим

Положим теперь Тогда

Это же уравнение можно получить из рекуррентной формулы (11.289). Далее рассмотрим

откуда индукция выполняется с полной очевидностью.

30. Теперь уже не представляет особого труда установить связь между полиномами и полиномами Чебышева от чисто мнимого аргумента. Как известно, для полиномов Чебышева

Принимая во внимание (11.290) и (11.292), сразу приходим к соотношению

или в операционном виде

что является операционным соотношением между полиномами Неймана и полиномами Чебышева. Это весьма важный результат в операционном исчислении.

Установим с помощью полиномов Чебышева некоторые соотношения. Для этого перейдем в равенстве (11.286) от к р. Тогда

Равенство начальных функций в обеих частях этого уравнения приведет к соотношению

Положим в (11.296)

где

Кроме того, примем и воспользуемся известным свойством функций Бесселя от чисто мнимого аргумента

Тогда из (11.296) получим

т. е. разложения по функциям Бесселя от чисто мнимого аргумента и по функциям связанным с полиномами Чебышева от чисто мнимого аргумента.

31. Рассмотрим функцию Дирака. Обозначим ее

причем

Свяжем эту функцию с операционным исчислением. Для этого рассмотрим сначала операционное соотношение (11.144) при Как было уже показано,

т. е.

Функция удовлетворяет равенству

При

Отсюда видим, что

Сопоставляя получаем

и далее

Выведем некоторые соотношения, которым удовлетворяет функция Дирака. Для этого запишем интеграл Лапласа

Но его можно еще записать в виде

На основании (11.302) и свойства сдвига

С помощью этого соотношения для (11.303) получаем

Легко видеть, что

Можно также установить, что

Для этого достаточно проинтегрировать (11.305) по частям:

и записать в соответствии с последним соотношение (11.306).

В заключение приведем некоторые примеры, вносящие физический смысл в полученные выше операционные формулы.

Рассмотрим силу, сообщающую мгновенно в момент скорость массе т. Легко установить, что в этом случае операционное соотношение для силы при имеет вид

Задача о заряде конденсатора, имеющего емкость посредством постоянного напряжения при наличии сопротивления приводит к следующему решению:

При предел правой части этого операционного соотношения равен а это значит, что мгновенный импульс тока

Здесь функция является зарядным током конденсатора при отсутствии сопротивления.

Можно было бы найти изображения для функции Вейерштрасса, -функции Римана и ее обобщения, функции Ганкеля, гипергеометрических функций, -функции, эллиптических функций, функции Матье, функции Якоби, эллипсоидальных гармонических функций, функции Куммера и др., что придало бы математическому анализу новое звучание. Эта задача в полном объеме представит предмет дальнейшего исследования.