§ 6. Экспоненциальные решения систем с запаздыванием

Рассмотрим систему с запаздыванием

с постоянными матрицами Определим оператор с помощью формулы

На основании линейности оператора можно установить следующие свойства решений уравнения (V.54), а также уравнения

1. Если — любые два решения уравнения (V.55), а с и — любые постоянные векторы, то — также решение уравнения (V.55).

2. Если — решение уравнения (V.54), а — решение уравнения (V.55), то является решением уравнения (V.54).

В частности, из свойства 2 следует, что решение неоднородного уравнения (V.54), удовлетворяющее начальному условию на начальном множестве От, можно получить как результат сложения двух более простых решений:

а) решения уравнения (V.55) с начальным условием при ;

б) решения уравнения (V.54) с начальным условием при

Из свойства 1 решений уравнения (V.55) вытекает, что можно попытаться найти решение этого уравнения в виде показательных функций. Поэтому будем искать его в виде

где с — произвольный постоянный вектор. Подставляя (V.56) в уравнение (V.55), получаем

Поскольку относительно с получаем систему уравнений

Отсюда устанавливаем, что для каждого корня X уравнения

всегда существует ненулевой вектор с такой, что функция является решением уравнения (V.55).

Уравнение (V.58) называется характеристическим уравнением уравнения (V.55), а корни уравнения (V.58) называются характеристическими корнями уравнения (V.55). Таким образом, каждому корню характеристического уравнения (V.59) соответствует решение уравнения (V.55). Предположим, что кратному корню соответствует несколько независимых решений. Отметим прежде всего, что

При помощи (V.60) вычислим величины

Пусть — корень уравнения (V.59) кратности Тогда, очевидно, всегда существуют векторы удовлетворяющие системе уравнений

Поэтому из соотношений (V.61) следует, что всегда существует векторный многочлен степени

такой, что выражение является решением уравнения (V.55).

Поскольку уравнение (V.59) трансцендентное и, следовательно, имеет бесконечное множество корней, уравнение (V.55) имеет счетную систему решений вида где — полином степени

на единицу меньшей кратности корня характеристического уравнения (V.59).

Итак, мы приходим к следующему утверждению.

Теорема 3. Системе (V.55) удовлетворяет функция вида

где — любая последовательность корней характеристического уравнения, — векторные полиномы степени меньшей кратности корня

Таким образом, получается теория, аналогичная соответствующей теории систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако характеристическое уравнение (V.59) системы (V.55) имеет бесконечное множество корней, а значит, уравнение (V.55) имеет бесконечное множество экспоненциальных решений, что приводит к еще большим трудностям. Возникает вопрос, можно ли по этим частным решениям разложить в ряд любое другое решение уравнения (V.55). Этому вопросу посвящены исследования Хана, А. Ф. Леонтьева, Райта, Верблюнского и др. (см. А. М. Зверкин, 1965 г.). Следуя этим работам, будем пользоваться преобразованием Лапласа и теоремой о вычетах.

Исходя из результатов § 4 для достаточно больших С, решение системы (V.55) можно представить в виде

Если бы деформировать прямую, по которой ведется интегрирование в соотношении (V.64), в такой контур, который охватывал бы все нули функции то из теоремы о вычетах сразу вытекало бы, что равно сумме вычетов функции .

Это давало бы возможность получить разложение вида (V.63). Вполне очевидно, что для этого необходимо достаточно полно знать расположение нулей функции и свойства квазиполинома, который встречается не только в теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Эти вопросы исследовались Я. Д. Тамаркиным, Лангером, Л. С. Поитрягиным, Пинни, В. И. Зубовым, А. М. Зверкиным и др.

Изложим необходимые сведения о корнях характеристического уравнения (Р. Беллман, К. Кук, 1967 г.).

Характеристическое уравнение уравнения (V.55) имеет вид

где Выясним вначале, какой вид имеет функция Для этого умножим матрицу Получим

откуда следует

— размерность матрицы и нули квазиполиномов совпадают). Расписывая матрицу и вычисляя ее определитель, находим

где — полиномы степени не выше целые числа, причем коэффициент при является полиномом степени а полиномы при других степенях имеют степень не выше Записываем (V.68) в виде

где все являются целыми неотрицательными числами, показывающими степень полинома при Из этого соотношения следует, что большие по модулю нули функции приближенно равны нулям функции

которая называется функцией сравнения.

Приведем некоторые сведения о расположении нулей функции Оказывается, что большие по модулю нули функции лежат внутри полос, окружающих конечное число кривых вида

Внутри каждой полосы нули функции асимптотически стремятся к нулям функции сравнения определяемой соотношением (V.70) Существуют последовательность замкнутых контуров и число такие, что

охватывает начало координат;

содержится внутри

3) контуры находятся на положительном расстоянии от множества всех нулей функции

4) для контур совпадает с окружностью где — некоторое фиксированное число, за исключением полос, содержащих нули; внутри этих полос лежит между окружностями

5) общая длина частей лежащих внутри полос, ограничена при

6) число нулей функции между ограничено при

Рассматривая вопрос о порядке матрицы можно показать, что справедливо соотношение