§ 5. Некоторые приложения

Полученные в настоящей главе результаты применимы ко многим актуальным и весьма важным задачам математики, механики, физики и техники. Приведем конкретные примеры.

В первом из рассмотренных примеров корень характеристического уравнения линейного дифференциального уравнения нулевого приближения нулевой, двойной кратности, во втором — корни сопряженные, чисто мнимые. Вид корней в данном случае не дает возможности сразу судить об устойчивости или неустойчивости решения линейного дифференциального уравнения по их

вещественной части. Поэтому следует применить выведенный нами критерий и установить устойчивость или неустойчивость решений рассматриваемых уравнений. Полученный для первого из этих уравнений критерий устойчивости был применен для случая колебаний маятника с вертикально вибрирующей точкой подвеса около его верхнего положения равновесия, причем нам удалось обнаружить интересный эффект вибростабилизации. Второе уравнение является обобщением известного уравнения Матье, изучению свойств устойчивости которого было посвящено большое количество исследований. Разработанный метод позволяет, на наш взгляд, значительно упростить исследование устойчивости этого важного класса уравнений. На приведенных примерах наглядно показана эффективность установленного нами критерия и вместе с тем проиллюстрирован весь ход применения общего метода исследования устойчивости решения линейных дифференциальных уравнений рассмотренного вида.

Рис. 13.

Пример 1. Уравнение Матье о колебаниях маятника с вибрирующей точкой подвеса. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка

где с — постоянный положительный коэффициент, — малый положительный параметр,

Выясним сначала механический смысл уравнения (VI.110). Рассмотрим маятник (рис. 13), укрепленный подвижно в конце А так, что он может совершать вращательное движение в плоскости около точки подвеса. Обозначив угол отклонения маятника в положительном направлении от естественного положения равновесия через и длину маятника I, получим уравнение равновесия маятника

Если точка укрепления маятника будет совершать вертикальные колебания, то уравнение примет вид

где у — вертикальное перемещение точки подвеса. Пусть у представляется как функция времени суммой вида

В этом случае уравнение (VI. 112) имеет вид

Для малых отклонений от верхнего положения равновесия, обозначив через получим

Допустим, что амплитуды весьма малы по сравнению с длиной а частоты велики по сравнению с естественной частотой маятника, т. е. пусть

Совершая замену переменной из (VI. 114) получаем

Можно принять

Тогда уравнение (VI. 115) примет вид

или

где

Мы не учитывали до сих пор трения. Если допустить, что на маятник действует малая сила трения, пропорциональная скорости,

то уравнение колебания маятника около верхнего положения равновесия принимает вид

Пример 2. Определение условий устойчивости решения рассматриваемой системы уравнений. Уравнение (VI.110) может быть заменено системой

или в матричной записи

что соответствует виду уравнения (VI. 1). Здесь

Однако, как показано в §1, формальное решение уравнения (VI. 1) имеет вид

где Е — формальное решение уравнения

В этом решении уравнения (VI. 110)

Следовательно,

Тогда

Для вычисления детерминантов Гурвица нам нужны величины входящие в характеристическое уравнение

Для удобства вычислений представим в виде

В рассматриваемом примере представлено постоянным членом равным в этом разложении — Таким образом.

где

Определим Из (VI. 12) в нашем случае получим

Для определения воспользуемся (VI. 19):

откуда

или

Примем решение последнего уравнения в виде

где Тогда

при

(кликните для просмотра скана)

соответствующие ему детерминанты Гурвица —

В нашем примере (коэффициент затухания). Таким образом, из (VI.119) видно, что если то решение будет устойчивым при условиях

Представим условие

в другом виде, т. е.

Так как

то

Поэтому условие (VI. 121) принимает вид

при достаточно больших

Таким образом, при решение для маятника будет устойчивым, если

Выясним механический смысл результата (VI.123). Требование положительности с, т. е. положительности коэффициента затухания, указывает на то, что сила затухания должна быть направлена против движения маятника. Неравенство же

приводится к виду

где — частоты колебаний маятника около верхнего положения устойчивости, амплитуды вибраций точки подвеса, — длина маятника.

Из (VI. 124) видно, что для обеспечения устойчивости верхнего положения маятника необходимо, чтобы сила затухания была направлена против движения маятника и частоты колебаний маятника были достаточно высокими или амплитуды вибраций точки подвеса достаточно большими. Если это условие не выполняется и неравенство (VI.124) имеет обратный знак, то рассматриваемое положение равновесия неустойчиво. Если же неравенство (VI. 124) обращается в равенство, для исследования вопроса об устойчивости необходимо принять во внимание высшие коэффициенты в разложении детерминантов Гурвица.

Примечание. Исходя из уравнения Матье исследовался вопрос о колебаниях маятника с быстровибрирующей точкой подвеса в случае периодических вибраций. Применение разработанного нами метода значительно упрощает исследование этого вопроса.

Пример 3. «Обобщенное» уравнение Матье и определение условий устойчивости решения соответствующей системы. Применим полученные критерии к «обобщенному» уравнению Матье

где

Это уравнение может быть заменено системой

Рассматривая основную систему уравнений (VI. 1), получаем в данном случае

Таким образом,

Напомним, что решение системы (VI. 1) имеет вид

а соответствующее характеристическое уравнение —

Для вычисления детерминантов Гурвица, как уже указывалось, нм необходимы величины Как и в первом примере, для удобства представим в виде

где

Определим сначала матрицу

следовательно,

Определим, далее, матрицы Так как

то

Матрица подобрана так, что

причем — постоянный коэффициент разложения

Принимая во внимание (VI.128), получаем

Следовательно,

где — коэффициенты соответственно при в сумме

— коэффициенты соответственно при в сумме

При этом очевидно, что если то

Если же не равно ни одному из то

С учетом (VI. 131) и (VI. 134) характеристическое уравнение (VI. 129) имеет вид

а соответствующие ему детерминанты Гурвица —

Таким образом, решение уравнения (VI. 125) при будет устойчиво, если

В частности, если ни одно из не равно т. е. если условие устойчивости решения при будет заключаться в положительности Если условие (VI.137) не выполняется, то решение уравнения (VI.125) будет неустойчивым. Если неравенство (VI.137) превращается в равенство, то необходимо определить

Как видим, исследование устойчивости решений уравнений в конкретных случаях с применением установленных нами критериев представляет собой задачу несложную и соответствующие условия определяются весьма просто.