§ 18. Предельные соотношения
Теорема 27. 1. Если 
является оригиналом, 
— его изображением, то выполняется соотношение
где 
2. Если существует
то
Доказательство. 1. Обозначим 
через 
и запишем
Пусть 
Покажем, что
В самом деле, поскольку 
является, в соответствии с условием, оригиналом, то для этой функции выполняется соотношение
где 
Заметим, что для любого положительного сколь угодно малого 
можно подобрать столь большое значение 
чтобы выполнялось неравенство
Примем теперь во внимание, что 
сходится равномерно к своему пределу 
при 
в интервале 
При фиксированном х для любого сколь угодно малого 
можно подобрать столь малое 
чтобы выполнялось неравенство
т. е.
Учитывая теперь (11.118) — (11.120), из (11.116) получаем
Однако
Следовательно,
т. е. справедливо равенство
Применим теперь к 
свойство подобия. Получим
Перепишем (11.117) в виде
Но при фиксированном 
и при со 
величина — стремится к бесконечности. Таким образом, справедливо равенство
2. Покажем теперь справедливость соотношения (11.115). Примем во внимание (11.116) и рассмотрим модуль входящего в него первого слагаемого 
Очевидно, для любого сколь
угодно малого 
можно подобрать столь малое 
что
и при фиксированном 
можно подобрать столь большое 
что, согласно (11.118), будет справедливо неравенство
т. е.
Теперь, учитывая (11.116), (11.122) и (11.123), получаем
Но последнее слагаемое в неравенстве (11.124) меньше 
что, в свою очередь, меньше у. Таким образом,
(
достаточно велико), следовательно,
Применяя теперь к 
свойство подобия,
из (11.125) получаем
откуда легко видеть справедливость соотношения
