§ 18. Предельные соотношения

Теорема 27. 1. Если является оригиналом, — его изображением, то выполняется соотношение

где

2. Если существует

то

Доказательство. 1. Обозначим через и запишем

Пусть Покажем, что

В самом деле, поскольку является, в соответствии с условием, оригиналом, то для этой функции выполняется соотношение

где

Заметим, что для любого положительного сколь угодно малого можно подобрать столь большое значение чтобы выполнялось неравенство

Примем теперь во внимание, что сходится равномерно к своему пределу при в интервале При фиксированном х для любого сколь угодно малого можно подобрать столь малое чтобы выполнялось неравенство

т. е.

Учитывая теперь (11.118) — (11.120), из (11.116) получаем

Однако

Следовательно,

т. е. справедливо равенство

Применим теперь к свойство подобия. Получим

Перепишем (11.117) в виде

Но при фиксированном и при со величина — стремится к бесконечности. Таким образом, справедливо равенство

2. Покажем теперь справедливость соотношения (11.115). Примем во внимание (11.116) и рассмотрим модуль входящего в него первого слагаемого Очевидно, для любого сколь

угодно малого можно подобрать столь малое что

и при фиксированном можно подобрать столь большое что, согласно (11.118), будет справедливо неравенство

т. е.

Теперь, учитывая (11.116), (11.122) и (11.123), получаем

Но последнее слагаемое в неравенстве (11.124) меньше что, в свою очередь, меньше у. Таким образом,

( достаточно велико), следовательно,

Применяя теперь к свойство подобия,

из (11.125) получаем

откуда легко видеть справедливость соотношения