§ 9. Интегрирование изображения (Вид оригинала, соответствующего интегралу от первоначального изображения F{p))

Имеем соотношение

Каким будет новый оригинал, если изображение проинтегрировать в предела от до бесконечности? Таким образом, мы подходим к теореме интегрирования изображения.

Теорема 12. Если

и если интеграл сходится, то он служит изображением функции являющейся для него оригиналом.

Доказательство. Проинтегрируем левую и правую части заданного соотношения в пределах от до бесконечности. Получим

Интегрирование по совершаем в полуплоскости где а — показатель роста оригинала На основании результатов теоремы 1

что дает нам возможность изменить порядок интегрирования в (11.29):

или в символической форме

Это и есть ответ на поставленный вопрос.

Таким образом, видим, что интегрированию исходного изображения в пределах от до бесконечности соответствует деление исходного оригинала на

Примечание. Из доказательства вытекает сходимость интеграла

Пример 1. На основе операционного соотношения

найдем изображение для оригинала Применяя теорему интегрирования изображения, получаем

Пример 2. На основе операционного соотношения

найдем изображение для функции По теореме интегрирования изображения