§ 2. Хевисайд и возникновение операционного исчисления

Оливер Хевисайд родился 18 мая 1850 г. в Лондоне. Получил лишь элементарное школьное образование. По окончании школы работал в области зарождавшейся тогда техники слабых токов, сначала в Большой северной телеграфной компании в Ньюкэстле, затем в Дании. Очень много занимался экспериментированием с аппаратурой по слабым токам, причем всегда сам составлял программу эксперимента.

В школе Хевисайд получил не много математических знаний, но после окончания школы, усиленно занимаясь самообразованием, он достиг такого математического уровня, что уже к 23 годам, как отмечают его биографы, овладел всей математической техникой того времени. Заниматься научными исследованиями Хевисайд начал с первых лет своей практической деятельности. Главной областью его исследований была теория телеграфной и телефонной связи, однако он применял свои глубокие математические познания также в самых различных областях естествознания: занимался определением возраста Земли, изучением движения электронов, термоэлектрическими изысканиями, изучением увеличения массы тел при очень высоких скоростях. Много работал Хевисайд и над математическими проблемами (операционное исчисление, векторный анализ и др.). Ему принадлежит также идея распространения результатов, полученных при изучении законов электрических цепей, на колебательные и другие механические явления.

За плодотворные и глубокие исследования Хевисайд был избран членом Королевского общества (британской академии наук). Но вскоре у него возник большой конфликт с математиками. Его обвиняли в отсутствии систематичности при исследовании поставленных задач (по словам Хевисайда, «те, кому хочется получить более формальное и логически обусловленное решение, могут искать его где угодно и найти его, если они это смогут, или же просто сделать все самим») 18 и математической строгости.

Ему как инженеру-электрику нужны были решения, а не строгость: «Конечно, я и не пишу для тех, кому нужна точность (хотя их внимание и было бы приятным), а для более широких кругов читателей, у которых меньше предубеждений, хотя их математические познания по отношению к познаниям ритористов и могут оказаться в положении соломы по отношению к сену». О столкновениях с ритористами забыть он не мог: «Хотя, как я полагаю, предмет моего исследования и имеет большую будущность, все же я должен предупредить читателя, что у меня нет претензий к логической точности и что многое из содержания было отброшена несколько лет тому назад людьми, которые должны были бы быть лучшими судьями». Его работы вначале печатались в трудах Королевского общества, но затем были отклонены. Рэлей писал Хевисайду: «Оба наших рецензента, благоприятно указав на то, что они поняли, жалуются на исключительную трудность Вашей статьи. Один из них говорит, что она труднее всего, с чем ему когда бы то ни было приходилось иметь дело. Не думаете ли Вы, что можно было бы сделать что-либо в этом отношении, например иллюстрации или больше пояснений? В таком виде, как она есть, я опасаюсь, что едва ли хоть один человек сможет воспользоваться Вашей работой». И в другом письме, датированном 1894 г.: «Эта статья сама по себе не подходит для наших математиков... Указывают на то, что большая часть статьи является попыткой получить с помощью несовершенных методов то, что уже сделано с помощью точных».

Хевисайд не простил математикам такого отношения к своим работам, и, несмотря на то что позднее его исследования получили всеобщее признание, горечь от несправедливых упреков у него осталась на всю жизнь. Хевисайд придумал себе прозвище «Worm» (червяк) и с 1918 г. подписывался «Оливер Хевисайд, W. О. R. М.». Он с сарказмом относился к тому, что многие принимали эти буквы за научный титул, указывая его в письмах. Этот «титул» Хевисайд себе «даровал», желая выразить то обстоятельство, что мир его недооценивает, но что и он не считается с научным большинством.

Математику Хевисайд считал экспериментальной наукой. Правда, такое убеждение, писал он, «настолько далеко отстоит от правоверной точки зрения, что лишь тот, кто тщательно проштудирует излагаемые концепции, сможет достичь синхронности мыслей с автором». Этим же поясняется «узость взглядов» и то недопонимание, с которым отнеслись к идеям Хевисайда математики. Лишь после того, как Берг, Карсон, Леви и другие математики подвели фундамент под его рассуждения, стало возможным

ввести в строгую систему «логический эмпиризм» теорем Хевисайда.

Хевисайд задался целью выработать метод для решения дифференциальных уравнений, обыкновенных или в частных производных. При этом трансцендентная операция дифференцирования должна была быть заменена алгебраической операцией умножения. Принципиально эта мысль не была новой, к ней постоянно обращались на протяжении двух столетий, и исходя из нее была создана целая серия более или менее остроумных систем символических исчислений. Но лишь Хевисайду удалось создать такую систему, которая, постоянно совершенствуясь, смогла развиться в исчисление, ставшее рабочим инструментом физиков и инженеров самых различных специальностей.

Наиболее полно Хевисайд изложил свои идеи во втором томе известного трехтомного сочинения «Электромагнитная теория». Сущность их заключается в следующем. Он вводит чисто формально дифференциальный оператор и оперирует им, без какого-либо обоснования, как множителем в выражении

Однако при этом получались и неправильные результаты, ибо, например, уравнение которое, в соответствии с предыдущим тождеством, справедливо для всякого постоянного с, нельзя делить на , так как в противном случае получается что невозможно, если

Самым важным достижением Хевисайда было введение оператора определяемого выражением

однако он оперировал как числами, чего одновременно делать нельзя. Действительно,

и правые части не равны, если . У Хевисайда были и другие ошибки. Но ему помогало его инженерное чутье, и неправильные решения все равно приводили к правильным ответам.

Хевисайд весьма свободно обращается с функцией, значительно позднее получившей название импульсной функции Дирака, или -функции, Эта функция везде равна нулю, за исключением случая где она бесконечна, следовательно,

Хевисайд часто рассматривает -функцию как дифференциальный коэффициент от своей единичной функции. Типичным для его рассуждений, как указывает Ван-дер-Поль, является дифференцирование по х интеграла Дирихле

который при перескакивает на расстояние 2 и приводит в результате к

В одном случае Хевисайд вводит импульсивную функцию, записывая ее в виде Физический смысл этой функции вытекает из рассмотрения выражения для тока при э. д. с., равной

откуда видно, что ток описывается -функцией, и Хевисайд замечает, относительно этого неожиданного физического факта, что, хотя э. д. с. существует при медленно снижаясь, ток появляется лишь при (где становится бесконечным); в любой иной момент времени тока нет.

Одним из наиболее интересовавших Хевисайда вопросов, решению которого он уделил много внимания, было распространение возмущений в длинных линиях с учетом или без учета индуктивности самих линий, а также в линиях, заканчивающихся каким-либо полным сопротивлением. Именно этот вопрос он использовал для применения операционного исчисления. Простота его дериваций и решения этих иногда весьма сложных задач просто удивительны. При операционном решении этого, а также иных подобных вопросов Хевисайд вывел несколько представлений для соответствующих функций времени, например:

Из некоторых операционных представлений он выводит новые, причем делает это часто так кратко и элегантно, как можно сделать едва ли многими более точными математическими методами. Имея достаточную сводку таких «операционных представлений», или изображений (по современной терминологии), каждый, кто знаком с техникой метода, может самостоятельно и без особых затруднений вывести новые операционные соотношения между более или менее сложными функциями.

Изложенное выше относится к абстрактным математическим применениям операционного исчисления Хевисайда, однако следует иметь в виду, что это исчисление сказалось чрезвычайно ценным при исследовании любых переходных процессов как в электрических, так и в механических системах, поскольку такие системы подчиняются линейным дифференциальным, разностным или интегральным уравнениям. Сведение к линейным задачам было исходным предположением Хевисайда и его непосредственных продолжателей. Оно, как показано выше, обусловливалось историческим развитием теории символических методов. Кроме того, самой теории решения задач нелинейной механики не существовало. Она была создана значительно позднее, лишь в первой половине 30-х годов XX в. Поэтому ограничение операционных методов линейными проблемами было весьма существенным и до определенного времени вопрос о возможности его распространения на нелинейные задачи даже не поднимался.

Все положения операционного исчисления были выведены Хевисайдом эмпирически и более или менее независимо от других математиков (Хевисайд очень мало ссылается на работы своих предшественников). Впервые он попытался опубликовать свои результаты в серии статей «Об операторах в физической математике» 25; опубликованы только две первые части — в 1892 и 1893 гг., а третья часть была отклонена редакцией трудов Королевского общества. Все три части вошли в состав второго тома его главного труда. В них излагаются некоторые рассуждения о функциях Бесселя, об обобщенной экспоненциальной функции Других функциях. Хевисайд совершенно свободно пользуется расходящимися рядами. В частности, он приводит без доказательства формулу

с помощью которой можно перейти от функции к функции где Эта формула была доказана К. Вагиером.

В указанных статьях Хевисайда исследуется также ток возникающий в ветви некоторой линейной сети, если к ветви этой сети приложена э. д. с., обозначенная через

где — оператор над может быть любой функцией времени, — также функция времени). Хевисайд строит аналогию с законом Ома, однако считает, что это соотношение справедливо и для цепей, содержащих индуктивность и емкость, и для произвольной являющейся произвольной функцией времени. Уже в 1893 г. он утверждал, что это положение справедливо не только для периодических функций времени, но и для более широких классов функций. Одним из важнейших его результатов является также теорема (формула) разложения.

Как известно, дальнейшее развитие операционного исчисления состояло в обосновании рассуждений Хевисайда. Вскоре в качестве основного положения исчисления было принято преобразование Лапласа. Возникает вопрос, знал ли Хевисайд об этом преобразовании. Выше отмечалось, что в его работах почти нет ссылок на чьи-либо исследования. Значит ли это, что он действительно ничего не знал о работах своих предшественников? Очевидно, нет. Известно, что Хевисайд глубоко изучил современную ему математическую литературу, и едва ли он, искавший в математике именно практические применения, мог обойти многочисленные работы по символическому исчислению, тем более что значительная часть этих работ принадлежала именно английским ученым. Естественно, что это обстоятельство отнюдь не умаляет заслуг Хевисайда, который сумел восстановить старый и уже отмиравший математический инструмент — символическое исчисление и приспособить его для решения наиболее интересных технических задач того времени. Ван-дер-Поль утверждает, что Хевисайду было известно преобразование Лапласа и критики, обвинившие его в том, что он не знаком с этим преобразованием, были несправедливы. Очевидно, пишет он, критики лишь поверхностно ознакомились с оригинальными работами Хевисайда и не заметили, что ссылка на преобразование Лапласа в них имеется, хотя и приводится только один раз 26: он рассматривает деривацию нескольких образцов при помощи преобразования Лапласа. Таким образом, совершенно очевидно, что Хевисайд понимал, что можно было бы принять это преобразование в качестве основания для операционного исчисления, но по каким-то причинам не сделал этого.

Одной из первых попыток обоснования операционного исчисления явились две работы Джорджи, опубликованные в 1904 и 1905 гг. Основной целью Джорджи было найти связь между операционным исчислением и теорией интеграла Фурье. Кроме

того, он пытался обосновать операционное исчисление, исходя из понятия оператора Хевисайда. Это ему не удалось. В некотором отношении он повторял рассуждения теоретиков старого символического исчисления, оказавшиеся несостоятельными; кроме того, для математического обоснования теории подобное обоснование было весьма слабым. Статьи Джорджи в то время не были замечены. В противном случае они смогли бы стать катализатором для развития математических теорий, связанных с операционным исчислением.

Тем временем операционное исчисление как метод решения разнообразных технических задач все более и более распространялось. Примерно с 1910 г. его используют в своих исследованиях американские инженеры, которых мало интересовали вопросы обоснования нового исчисления. Практическая же его направленность их вполне устраивала.

В начале 20-х годов операционное исчисление снова попадает в поле зрения математиков. С 1916 г. в этом направлении работает Бромвич. Он самостоятельно пришел к некоторым результатам в области теории операционного исчисления. По-видимому, сначала он ознакомился с методом Лапласа — Коши, затем с работами Хевисайда и с 1921 г. занялся совершенствованием и обоснованием исчисления Хевисайда. Бромвич вообще не пользуется понятием оператора в смысле Хевисайда, а исходит из теории аналитических функций и из классической теории интеграла Фурье. Сперва он предложил свой интеграл в форме

В дальнейшем же пользуется формулами

Таким образом, уравнение для отличается от интеграла Лапласа наличием множителя . Бромвич перестроил операционное исчисление и значительно расширил область его применения.

В этот же период Карсон попытался создать для операционного исчисления прочную математическую основу. Он показал, что операционные методы Хевисайда можно полностью обосновать, исходя из преобразования Лапласа, которое сводит функцию

к функции с помощью интегрального уравнения

При этом называется оригиналом, — изображением. Работа Карсона оказала значительное влияние на дальнейшие исследования в области обоснования операционного исчисления. В сущности, ему принадлежит честь привлечения внимания математиков к преобразованию Лапласа. этом возникает тенденция вообще уничтожить какое-либо значение «оператора» и вернуть исчислению старое название — «символическое исчисление», хотя между операционным исчислением и символическим исчислением первой половины XIX в. была «дистанция огромного размера».

Существенное значение имело одно обстоятельство, выясненное Карсоном. Это правило сложного произведения, в соответствии с которым, если оригиналом является а оригиналом является оригиналом

будет

Но поскольку в произведении могут легко меняться местами, то любое из них можно считать оператором. Из преобразования Лапласа при помощи замены переменных можно получить преобразование Фурье

и затем, снова выполняя замену переменных, прийти к преобразованию Меллина

Следовательно, в определенном смысле операционное исчисление опять возвращается к преобразованию Лапласа.

Ван-дер-Поль при изложении операционного исчисления также основывается на интеграле Лапласа, излагает правила преобразования и теоремы Хевисайда, не пользуясь оператором и называет функцию «изображением», или «символом», функции Он указал на одно важное обобщение преобразования

Лапласа. В преобразовании Лапласа, в таком виде, как его применял и Хевисайд, и его последователи, интеграл берется в пределах от нуля до бесконечности. Хевисайд принимает нуль в качестве нижнего предела вследствие того, что рассматривает почти исключительно функции времени токов, возникающих в различных типах линейных сетей под действием э. д. с., которая лредполагается действующей начиная с момента времени (следовательно, при отрицательных значениях времени токи полностью отсутствуют). Поэтому функции, рассматриваемые Хевисайдом и его последователями, равны нулю при всех отрицательных Для выяснения этого вопроса Ван-дер-Поль вводит функцию соответствующую единичной функции Хевисайда и равную единице при положительных и нулю — при отрицательных значениях Поэтому вместо функций рассматриваемых в классическом операционном исчислении, появляются функции Эти обозначения дают возможность распространить интерпретацию преобразования Лапласа на всю действительную ось, т. е. от до так что преобразование становится двусторонним и его можно записать в виде

и составляет обобщение для таких функций времени, которые должны были бы равняться нулю при отрицательных значениях В то же время такое обозначение годится и для одностороннего преобразования Лапласа. Для функций, равных нулю при отрицательных значениях

так как, благодаря под знаком интеграла, при отрицательных значениях интеграл пропадает. Поэтому соответствующий вариант операционного исчисления может быть основан на двустороннем преобразовании Лапласа

или в сокращенной записи

При этом поле сходимости в комплексной плоскости может определяться условием

тогда как в одностороннем преобразовании Лапласа в качестве Р обычно принималась

Такое обобщение операционного исчисления позволило найти выражения для многих функций, которые в одностороннем исчислении не имели своего выражения, так как в старом операционном исчислении были лишь функции типа Поэтому возникает возможность использовать такие, например, изображения:

Итак, казалось, в результате перестройки операционного исчисления с помощью преобразования Лапласа от идей Хевисайда остается немного. В частности, такое мнение высказал Дотч: «Формула, относящаяся к разложению цепных дробей, является символикой, известной под названием «теоремы разложения Хевисайда», и обычно преподносится в мистическом освещении. Хевисайд..., английский инженер-электрик, был самоучкой... Сама же формула была, несомненно, известна в чистой математике уже в течение длительного времени» 21. И далее: «Неслыханный поток литературы из самых различных источников последовал за писаниями Хевисайда, который был, однако, бессодержательным с математической точки зрения» 28. Мнение Дотча было крайним и несправедливым, но оно отражало взгляды тех пуристов, которые видели в математике лишь теоретическую сторону. В своих работах Дотч, подобно Ван-дер-Полю, вместо понятия оператора вводит функциональное отображение, основанное на преобразовании Лапласа и его обратном интеграле.

С математической точки зрения изложение Дотча весьма полное и строгое. Дотч выяснил, что сущность алгебраического метода Хевисайда сводится к применению функциональной теоремы свертывания, формулировка которой состоит в следующем: если задан функционал

с ядром зависящим только от аргументов и и функции , преобразованные по Лапласу, будут соответственно ,

то справедливо тождество

Это выражение принципиально важно в том смысле, что в нем исчезли знаки интеграла и оно приводится к некоторой совокупности чисто алгебраических операций. Для интегрального уравнения второго рода типа Вольтерра

переход к преобразованным функциям сразу дает возможность написать линейное алгебраическое уравнение

Следовательно, можно определить а также

Таким образом, исследованиями Дотча была завершена перестройка идей операционного исчисления на базе преобразования Лапласа. Символическое выражение начали рассматривать как изображение оригинала (функции какого-либо аргумента) в области изменения некоторого аргумента (отличного от первого), получающееся при помощи функционального преобразования Лапласа. Дотч указал также на несущественность тех ограничений, которые накладывали на подынтегральную функцию в уравнении Карсона при том условии, что сам интеграл понимается в смысле Лебега или Стильтьеса.

Не все математики, однако, относились к творчеству Хевисайда подобно Дотчу. Так, Уиттекер, объясняя противоречия, возникшие между Хевисайдом и математиками-теоретиками, пишет: «Оглядываясь на эти противоречия тридцать лет спустя, нам следовало бы поместить создание операционного исчисления рядом с открытием автоморфных функций Пуанкаре и изобретением тензорного исчисления Риччи, как три важнейших математических достижения последней четверти XIX в. Применение,

развитие и обоснование его составляют значительную часть современной математической активности». Возможно, здесь Уиттекер впал в другую крайность, однако различие взглядов «чистого математика» Дотча и специалиста в области прикладной математики Уиттекера весьма примечательно.

Дальнейшие исследования почти полностью основывались на преобразовании Лапласа. Теоретическую сторону, кроме Дотча, разрабатывал Уиддер («Преобразование Лапласа»), различные аспекты операционного исчисления были изучены в более поздних работах Бромвича и Ван-дер-Поля, а также в трудах других ученых (Ванневара, Буша, Нейссена, Гумберта, М. Гардера, Р. Черчилля, Маклахлана, К. Вагнера, Пароди, Коломбо и др.). Существенные усовершенствования внесли в обоснование операционного исчисления также П. Леви и Джеффрис. Построение новой системы операционного исчисления на основе преобразования Лапласа снимает саму идею действия «оператора» на «оперируемое выражение», и поэтому, как указывает Ван-дер-Поль, вновь появляется право применять вместо термина «операционное исчисление» термин «символическое исчисление». Спираль развития метода, повернувшись на один виток, пришла опять к исходной точке.