§ 13. Свойство свертки, или складки (теорема умножения изображений)

Как известно, сверткой, или складкой, двух оригиналов называется функция удовлетворяющая соотношению

Операция получения функции называется свертыванием функций Легко показать, что справедливо также соотношение

Из этого соотношения видно свойство симметрии свертки. Докажем теперь теорему умножения изображений.

Теорема 16. Произведение двух изображений является также изображением и определяется символическим равенством

Доказательство. Пусть

или в символическом виде

Рассмотрим интеграл

с точки зрения удовлетворения его условиям (). Иначе говоря, поставим вопрос, является ли функция оригиналом.

Сразу видно, что для функции первое и третье из условий выполняются. Покажем, что второе условие также

выполняется. В самом деле, поскольку функции являются по условию оригиналами, то

Пусть произведением постоянных величин будет и наибольшим из показателей роста функций и соответственно будет Тогда

или

где сколь угодно мало. Так как функция на полуинтервале имеет единственный максимум то для получаем вследствие чего неравенство (11.40) можно переписать в виде

а это означает, что функция (11.39) удовлетворяет второму условию и следовательно, как удовлетворяющая всем условиям (о), представляет собой оригинал.

Найдем теперь изображение, соответствующее новому оригиналу Пусть оно будет Тогда

На основании теоремы 1 интеграл абсолютно сходится, следовательно, порядок интегрирования по и в правой части (11.42) можно изменить. Получаем

или, учитывая, что для а также имея в виду пределы изменения (рис. 6),

Заменим во втором интеграле Тогда

откуда, придерживаясь обозначения (11.38), находим

Сопоставляя и (11.39), окончательно получаем

или в символической форме

Рис. 6.

Как видно из символического равенства (11.46), умножение изображения на изображение соответствует свертыванию оригиналов

Частный случай. Если известен оригинал соответствующий изображению т. е. если

то оригиналом изображения является

что можно представить в следующей записи:

или в символическом виде

Теорема 17. Изображение производной по переменному от свертки

равно где изображение оригинала изображение оригинала

Доказательство. На основании теоремы 16

Применим правило дифференцирования оригинала. Поскольку

или

Символическое равенство (11.48) можно представить также в виде

Теперь продифференцируем по функцию

Тогда на основании (11.50) и (11.49) можем записать

или

(формула Дюгамеля), или в символическом виде

Теорема 18. Умножение оригиналов 2. и являются оригиналами с показателями роста соответственно -соответствующие изображения этих оригиналов, то произведение удовлетворяет символическому равенству

где

Доказательство. Согласно условию

Ранее было доказано, что произведение удовлетворяет условиям (о), т. е. является оригиналом. Таким образом, его изображение имеет вид

следовательно, можн о записать

Полагая и учитывая, что

соотношение (11.53) можно также записать в виде

Поскольку на основании соответствующих предыдущих теорем в (11.54) можно изменить порядок интегрирования,

Но по условию доказываемой теоремы а. Кроме того, Значит,

и интеграл

представляет собой изображение

Таким образом, учитывая (11.56), символическое соотношение (11.55) можно переписать окончательно:

Примечание 1. Величина может быть как угодно близка к Поэтому можно считать, что изображение произведения начальных функций определено для значений , удовлетворяющих неравенству причем показатель роста функции, представляющей это произведение.

Примечание 2. Формулы (11.37) и (11.52) связывают символическими равенствами произведение начальных функций с произведением соответствующих преобразованных функций В этом смысле указанные формулы являются взаимно двойственными.