§ 4. Решение систем с постоянными коэффициентами и запаздыванием

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

в которой — постоянные вещественные («Химерные матрицы, — вектор-функция. Если в этой системе то она называется системой с запаздывающим аргументом, если то она называется системой нейтрального типа, если

то система (V.23) называется системой опережающего типа, если то система называется разностной, если то система легко сводится к разностной. Если или то система (V.23) переходит в систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Поскольку системы запаздывающего типа в некоторых отношениях проще систем нейтрального и опережающего типов, рассмотрим именно эти системы.

Установим вначале теорему существования и единственности решений для системы с запаздыванием

удовлетворяющих начальному условию при

Заметим, что переносом всегда можно добиться, чтобы начальные условия имели вид

Для системы вида (V.24) справедлива следующая теорема существования и единственности решения.

Теорема 1. Пусть — непрерывные вектор-функции, определенные на интервалах соответственно. Тогда существует одна и только одна функция определенная при непрерывная при удовлетворяющая начальным условиям (V.25) и системе (V.24) при т. Эта функция непрерывно дифференцируема на и если непрерывно дифференцируема, то дважды непрерывно дифференцируема на Если непрерывно дифференцируема, то непрерывна в точке тогда и только тогда, когда выполняется условие

Теорема легко доказывается при помощи метода шагов. В силу того что можно умножить уравнение (V.24) на и получить уравнение того же вида с коэффициентом при равным единице, поэтому положим Обозначим

и запишем систему (V.24) в виде

Применяя к последней метод шагов, устанавливаем, что на интервале функция непрерывна. Проинтегрировав это уравнение, получим единственную функцию удовлетворяющую уравнению (V.24) на и условию От. Повторно применяя соотношение (V.28), убеждаемся, что является непрерывной функцией на интервале

и т. д., следовательно, на этом интервале существует единственное непрерывное решение системы (V.24). Этот процесс можно продолжить неограниченно и получить таким образом единственную непрерывную функцию удовлетворяющую начальному условию (V.25) и системе (V.24) при Из предыдущих рассуждений следует, что если -непрерывная функция на то непрерывно дифференцируема и удовлетворяет системе (V.24) при всех когда она имеет непрерывную производную при Это возможно тогда и только тогда, когда т. е. когда выполняется соотношение (V.26).

В дальнейшем для построения решения, существование которого доказано выше, будем пользоваться преобразованием Лапласа. При этом необходимо знать оценку величины решений системы с запаздыванием. Такая оценка устанавливается следующей теоремой (Р. Беллман, К.

Теорема 2. Предположим, что является непрерывно дифференцируемым решением системы

непрерывной функцией, удовлетворяющей неравенству

Обозначим, Тогда существуют такие постоянные , зависящие от и от матриц что выполняется неравенство

Доказательство. Интегрируя уравнение (V.29) в пределах от до получаем

Оценивая (V.32), получаем

или

Положим

Тогда

Поскольку на интервале вполне очевидно, что неравенство (V.35) справедливо для всех Применяя к нему лемму Гронуолла—Беллмана, получаем

Положим теперь Таким образом, теорема установлена. Оценки решений для уравнений с переменными коэффициентами и распределенными запаздываниями общего вида найдены А. Мышкисом, а для уравнения нейтрального типа — Райтом.

Рассмотрим, далее, вопрос о применении преобразования Лапласа к системам с запаздыванием. При помощи этого преобразования удается выразить решение системы (V.24) посредством контурного интеграла через значения начальной функции а следовательно, получить некоторую информацию относительно решения. При этом необходимо знать свойства корней характеристического уравнения

Одно из свойств корней уравнения (V.36) устанавливается следующим утверждением.

Лемма. Корни уравнения (V.36) на комплексной плоскости переменной все лежат слева от некоторой вертикальной прямой, т. е. существует такая вещественная постоянная С, что

Рассмотрим теперь систему (V.24). Предположим, что для функции выполняется условие

в силу которого решение удовлетворяет неравенству

Умножим систему (V.24) на и проинтегрируем по в пределах от до бесконечности:

Оценка решения (V.38) позволяет сделать вывод, что интегралы

всегда сходятся для всех Рассмотрим выражение

Интегрируя по частям, получаем

Если то при Из оценки решения вытекает, что правая часть равенства существует при , следовательно, существует и левая часть, т. е.

Выполнив замену запишем

Используя соотношения (V.41), (V.42), перепишем (V.39) в виде

Обозначая

из соотношения (V.43) получаем

откуда, если учесть свойство нулей квазиполинома

Применяя формулу обращения преобразования Лапласа, из соотношения (V.47) получаем