§ 2. Лемма о квазипериодичности некоторого типа матриц

В предыдущем параграфе показано, что уравнение (IV. 1) имеет единственное решение вида (IV.17), где

при условии, что ограничена на всей вещественной оси и что вещественные части корней характеристического уравнения и параметра не совпадают.

Лемма 2. Если — квазипериодическая матрица в интервале — матрицы, удовлетворяющие условиям

то интегралы

представляют собой также квазипериодические на всей вещественной оси матрицы.

Доказательство. Поскольку — квазипериодическая матрица, ее можно аппроксимировать равномерно в интервале посредством выражений где — постоянные матрицы. Следовательно, для сколь угодно малого выполняется неравенство

Обозначив

получаем

Но

Обозначив, далее,

из (IV.25) получаем

Аналогично

где

Из (IV.26) и (IV.27) видно, что интегралы (IV.24) представляют собой квазипериодические на всей вещественной оси матрицы, что и требовалось доказать.

Рассмотрим случай квазипериодичности множителя входящего в состав решения (IV.17) уравнения (IV. 1).

Теорема 2. Если в уравнении (IV.1) матрица квазипериодическая, то вектор , являющийся множителем в решении (IV.17) уравнения (VI.1), также квазипериодический.

Доказательство. Воспользуемся выражением для в виде (IV. 14)

или

Считая являющееся квазипериодическим вектором, нулевым приближением вектора находим первое его приближение (IV. 19). По лемме — также квазипериодический вектор. Второе приближение (IV.20) является квазипериодическим вектором на этих же основаниях. Вообще, квазипериодичность влечет за собой квазипериодичность

что следует непосредственно из леммы 2.

Предел равномерно сходящейся последовательности квазипериодических векторов является квазипериодическим вектором, поэтому принадлежит к этому же классу векторов. Относительно частот квазипериодического вектора можно доказать следующее утверждение: частоты квазипериодического вектора представляют собой линейные комбинации частот квазипериодической матрицы

В самом деле, вектор получается при помощи следующих операций: 1) интегрирования вида

2) умножения на сложения, 4) предельного перехода в условиях равномерной сходимости. В результате всех этих операций получаем квазипериодические векторы, частоты которых являются линейными комбинациями частот матрицы Этим и доказано наше утверждение.

Следствие. Если матрица периодическая, то — периодический вектор по отношению к