ГЛАВА VI. УСТАНОВЛЕНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ КРИТЕРИЕВ УСТОЙЧИВОСТИ И НЕУСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЙ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Весьма важным вопросом в исследовании линейных дифференциальных уравнений является установление эффективных критериев устойчивости и неустойчивости их решений. Для достижения цели в такого рода исследованиях можно идти различными путями. Один из способов, например, может заключаться в рассмотрении каждого случая корней соответствующего характеристического уравнения. Однако тогда пришлось бы для различных случаев возможного поведения вещественных частей этих корней видоизменять способ рассмотрения, что усложнило бы решение вопроса. Подобные затруднения возникли у А. М. Ляпунова, и ему пришлось рассматривать отдельные случаи: когда все корни соответствующего характеристического уравнения отрицательны, один корень нулевой или имеется пара сопряженных чисто мнимых корней. Применение такого метода связано с громоздкими вычислениями.

Нами разработан общий метод, применимый для случая общей системы линейных дифференциальных уравнений. Этот метод основан на следующих соображениях:

1) переход от одного дифференциального уравнения порядка к системе дифференциальных уравнений 1-го порядка не нарушает принципиальной сущности поставленной задачи;

2) устраняется громоздкость вычислений, так как в этом случае можно использовать весьма мощный аппарат матричного исчисления;

3) исключается необходимость исследования отдельных случаев вещественных частей корней характеристического уравнения, так как результаты рассмотрения отдельных случаев охватываются непосредственно общим методом.

Результаты исследований по данной проблеме изложены нами в ряде работ по применению асимптотических методов к решению линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, в том числе в двух монографиях В этой

главе рассматриваются вопросы приложения асимптотических методов к линейным дифференциальным уравнениям широкого класса. Исследуется общая система линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка с коэффициентами, переменные части которых образованы функциями специального вида.

§ 1. «Полное» преобразование основной системы уравнений. Вид ее формального решения

Введем основные обозначения. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений

(где А — постоянная -мерная матрица, — матрица класса , т. е. матрица с элементами типа конечной суммы с постоянными коэффициентами — вектор, — малый положительный параметр), а также вспомогательную систему дифференциальных уравнений

и соответствующее характеристическое уравнение

(Е — единичная матрица).

Нашей задачей является установление общего метода исследования решения системы (VI.1), поэтому рассмотрим любые корни характеристического уравнения (VI.3), не налагая никаких ограничений на их вещественные части. Обозначим все различные корни уравнения (VI.3) через

где — кратности этих корней. Соответствующие решения уравнения (VI .2) представляют собой линейные комбинации выражений

При выписывании все корни характеристического уравнения будем обозначать через где учитывается каждый корень характеристического уравнения такое число раз, которое соответствует степени его кратности.

В случае простых корней решения уравнения (VI.2) будут иметь вид Обозначим все разные решения этого уравнения через

Тогда общее решение системы (VI.2) представится в виде

где Это решение может быть представлено также в виде

где — постоянная матрица, — вектор с компонентами

Заметим, что матрица имеет обратную себе матрицу ибо функции могут быть выражены через

Докажем несколько лемм, которые понадобятся при доказательстве теоремы об эффективном построении решения основной системы линейных дифференциальных уравнений (VI.1).

Лемма 1. Матрица

в которой — матрица, составленная из коэффициентов — постоянная матрица, входящая в уравнение (VI.2), имеет вид

где — некоторые постоянные матрицы, порядок которых определяется кратностью корней уравнения (VI.3).

Доказательство. Подставляя выражение (VI.5) в уравнение (VI.2), получаем

т. е.

что можно записать также в виде

Но очевидно, является линейной комбинацией только таких которые соответствуют тому же корню характеристического уравнения, что и Отсюда следует, что матрица должна иметь вид

где — некоторая матрица порядка

Лемма 2. Диагональная матрица

где — мнимые части корней характеристического уравнения (VI.3), коммутативна с матрицей Доказательство. Рассмотрим матрицу

Для нее элемент имеет вид

так как при при Вследствие этого

что и требовалогь доказать.

Лемма 3. Матрица где — диагональная матрица (VI.8), коммутативна с матрицей

Установим теперь вид формального решения уравнения (VI.1). Для этого докажем следующую теорему.

Теорема 1. Формальное решение уравнения (VI .1) имеет вид

где — матрицы класса — формальное решение уравнения с постоянными коэффициентами

Доказательство. Теорема будет доказана, если будет доказана возможность построения матриц удовлетворяющих постоянным условиям. Для этого подставим (VI.9) в уравнение (VI.1) и покажем, что можно соответствующим образом подобрать находящиеся в нашем распоряжении матрицы Получим

или, если учесть

Приравняем коэффициенты левой и правой частей тождества (VI. 11). Тогда получим уравнения для нахождения искомых матриц.

1. Приравняем коэффициенты

откуда

На основании леммы 3

поэтому, определив матрицу получим

Покажем, что характеристические корни матрицы [вещественны. Для этого рассмотрим уравнение

где Е — единичная матрица. Приняв во внимание вид (VI.7) матрицы можно переписать равенство (VI, 12) так:

где

Так как

из уравнения (VI. 13) получим

где

Но, как видно из (VI. 15) и (VI. 17),

вследствие чего уравнение (VI. 16) принимает вид

Рассмотрим теперь характеристическое уравнение (VI.3). Легко видеть, что его левая часть может быть преобразована так:

Применим принятые выше обозначения для всех различных корней характеристического уравнения (VI.3). Следовательно, в уравнении (VI. 18) , и тем самым установлена вещественность характеристических корней матрицы

2. Приравняем теперь коэффициенты при в. Получим

или

Уместно отметить, что правая часть этого уравнения представляет собой функцию класса 2. Положим

Тогда, как легко видеть из (VI. 19),

или

Последнее выражение, если учесть (VI.12), имеет вид

Матрица входящая в правую часть этого уравнения, является известной функцией класса 2, поэтому она может быть записана так:

Примем решение уравнения (VI.21) в виде

где

Тогда, подобрав величину равной свободному члену суммы V из уравнения (VI.21) получим

При таком выборе и сумма (VI.23), очевидно, удовлетворяет уравнению (VI.21), к тому же соответствующее будет матрицей класса 2.

Уравнения (VI.24) представляют собой систему линейных неоднородных уравнений относительно неизвестных, составляющих матрицу Возникает вопрос, разрешима ли эта система. Покажем, что она разрешима, а это гарантирует возможность построения матрицы

Для доказательства допустим обратное, т. е. что система уравнений (VI.24) неразрешима. Тогда соответствующая система однородных уравнений

допускает нетривиальное решение Ф 0. Легко показать, что, допустив существование такого решения, мы придем к противоречию. В самом деле, рассмотрим матрицу

Принимая во внимание (VI.25), получаем

Рассмотрим теперь выражение

Для него

Это означает, что

Рассмотрим, далее, два произвольных вектора у и д. Образуем форму

Поскольку

получаем

Положим теперь Тогда можно записать

Но очевидно, что

Поэтому — линейная комбинация вида

где - некоторые полиномы по отношению к ибо корнями уравнения

являются Точно так же по аналогичным соображениям, является линейной комбинацией вида где — некоторые полиномы относительно Следовательно, выражение должно быть произведением полиномов и вещественных экспоненциалов; оно не может равняться постоянной величине, умноженной на

Таким образом, допустив неразрешимость системы (VI.24), мы пришли к противоречию и тем самым установили разрешимость этой системы и показали возможность построения матриц

3. Приравняем, далее, коэффициенты при Получим

Заметим, что правая часть последнего уравнения представляет собой функцию класса 2. Положим

Тогда, как легко видеть, (VI.26) преобразуется в уравнение

или

что, если учесть (VI.12), представляется в виде

Матрица

входящая в правую часть этого уравнения, является известной функцией класса 2, поэтому она может иметь вид

Примем решение уравнения (VI.27) в виде

где Тогда, подобрав величину равной свободному члену суммы из уравнения (VI.27) получим

Разрешимость системы (VI.28) устанавливается на основании соображений, изложенных при рассмотрении системы (VI.24), так как определитель системы (VI.28) такой же, как и системы (VI.24). Показывается также возможность построения матриц

4. Приравняем теперь коэффициенты при

Заметим, что правая часть этого уравнения представляет собой функцию класса 2. Положим Тогда, как легко видеть, (VI.29) преобразуется в уравнение

или

Если учесть (VI. 12), последнее выражение представится в виде

Матрица

входящая в правую часть этого уравнения, является известной функцией класса 2, поэтому она может иметь вид

Примем решение уравнения (VI.30) в виде

где Тогда, подобрав величину равной свободному члену суммы из уравнения (VI.30) получим

Разрешимость системы (VI.31) устанавливается также на основании соображений, изложенных при рассмотрении системы (VI.24), так как определитель системы (VI.31) такой же, как и системы (VI.24). Показывается также возможность построения матриц

Итак, видим, что процесс определения может быть неограниченно продолжен, тем самым устанавливается существование формального решения вида (VI.9) системы уравнений (VI.1). Выражение (VI.9) рассматривается как «полное» преобразование основной системы (VI.1), сводящее последнюю к системе (VI.10) с постоянными коэффициентами.