ГЛАВА VII. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ n-ГО ПОРЯДКА С КОЭФФИЦИЕНТАМИ, ПЕРЕМЕННЫЕ ЧАСТИ КОТОРЫХ ОБРАЗОВАНЫ ОГРАНИЧЕННЫМИ ФУНКЦИЯМИ

§ 1. Устойчивость решения рассматриваемого уравнения при ...

При малых отклонениях от постоянных коэффициентов линейного дифференциального уравнения исследование решения сводится к исследованию решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, если принять, что корни соответствующего характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части.

Пусть в дифференциальном уравнении с постоянными коэффициентами

вещественные части корней соответствующего характеристического уравнения

отрицательны. Рассмотрим дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами

где

( по модулю достаточно мало). Принимая во внимание (VII.4), из (VII.3) получаем

что в дифференциально-операторном обозначении представляется так:

где — левая часть уравнения (VII.1), а

Пусть — общий интеграл уравнения (VII.1), а — некоторый параметр) — интеграл этого уравнения, при обращающийся в нуль вместе со своими последовательными производными, а его производная равна единице. Обозначив выражение (VII.7) через с помощью метода Коши можем представить общий интеграл х уравнения (VII.6) в виде

Примем теперь функции образующие переменные части коэффициентов уравнения (VII.6), ограниченными в интервале и докажем теорему сильной устойчивости в положительном направлении решения х этого уравнения.

Теорема 1. Если все функции образующие переменные части коэффициентов уравнения (VI 1.6), ограничены в интервале то можно найти такое положительное число что при решение х этого уравнения экспоненциально стремится к нулю, когда

Доказательство. Оценим модули х и его последовательных производных до порядка включительно:

Поскольку — решения уравнения (VII.1), их можно представить в общем случае посредством суммы произведений полиномов и экспоненциалов где — корни характеристического уравнения (VII.2). Но в силу сделанных вначале допущений вещественные части этих корней отрицательны, отсюда

где а и — постоянные множители, К — половина наименьшей из абсолютных величин вещественных частей корней характеристического уравнения (VII.2).

Пусть постоянная величина ограничивает модули всех в интервале Тогда, сложив неравенства (VII.9) и приняв во внимание (VII.10), получим

Отсюда

где о) удовлетворяет уравнению

Но

и

Таким образом,

Из этого выражения при

в интервале получаем

где Принимая во внимание (VII. 16), неравенство (VII. 12) можем записать в виде

откуда видно, что

Неравенство (VII. 18) показывает экспоненциальное стремление к нулю при общего интеграла уравнения (VII.3) в случае ограниченности всех функций в интервале при достаточной малости отклонений коэффициентов от постоянных