§ 2. Асимптотический характер приближенного решения основной системы уравнений

В § 1 рассмотрен вопрос о существовании формального решения уравнений (VI.1) в виде, представленном выражением (VI.9). Однако вопрос о характере рядов

остался открытым. Ввиду, вообще говоря, расходимости этих рядов, смысл теоремы 1 зависит от их асимптотических свойств. Покажем, что эти ряды носят асимптотический характер, а это свидетельствует о том, что приближенное решение уравнения (VI. 1) асимптотически стремится к точному его решению при достаточно малом е.

Для установления асимптотических свойств указанных рядов и вывода соответствующих оценок погрешности приближения решения основной системы (VI.1) удобно представить точное решение х этой системы в несколько ином виде. Воспользуемся методом Н. М. Крылова и Н. Н. Боголюбова. В соответствии с основной идеей этого метода введем в наше рассмотрение, наряду с полным преобразованием (VI.9), «укороченное» преобразование, сводящее исходную систему (VI. 1) к системе линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, отличающимися от постоянных на величины сколь угодно большого порядка малости. Это означает, что мы возьмем усеченную часть преобразования (VI.9), ограничившись первыми членами, и будем рассматривать ее как некоторую замену переменных. С помощью замены переменных можно рассматривать «укороченное» выражение

как точное решение уравнения (VI. 1). Но в нем, как будет видно дальше, неизвестные удовлетворяют уравнениям не приближения, а уравнениям с коэффициентами, отличающимися от постоянных на величины порядка малости. Таким образом, получим для новых переменных систему линейных дифференциальных уравнений порядка с коэффициентами,

переменные части которых являются уже величинами не а сколь угодно большого порядка малости.

Докажем сначала следующую теорему.

Теорема 2. Система уравнений (VI.1) сводится посредством замены переменных (VI.32) к системе

где — матрица класса 2, регулярная относительно в окрестности

Доказательство. Подставим выражение (VI.32) в уравнение (VI. 1):

или

Последнее равенство может быть представлено в виде

Нетрудно заметить, что правая часть этого уравнения напоминает выражение, имеющееся в (VI.11), если все члены в последнем перенести в одну сторону. Различие состоит лишь в том, что вместо бесконечных рядов, входящих в (VI.11), здесь стоят конечные суммы. Приняв во внимание равенство (VI.11), получим

где функция класса 2 и полином относительно е. Последнее равенство можно записать

или

т. е. мы получили уравнение (VI.33), в котором

Теорема доказана.

Итак, мы нашли точное решение основной системы уравнений (VI. 1) в «укороченном» виде (VI.32).

Установим вид приближения точного решения основной системы и оценим это приближение. Будем исходить из вида точного решения (VI.32) уравнения (VI. 1). Пусть интеграл уравнения

который при обращается в единичную матрицу имеет вид

Тогда функция, удовлетворяющая уравнению (VI.33), запишется так:

Принимая точное решение х уравнения (VI.1) в виде (VI.32), будем называть приближенным решением этого уравнения выражение

где решение уравнения (VI.35). Правая часть последнего уравнения отличается от правой части уравнения (VI.33), решением которого является функция , входящая в точный интеграл (VI.32), на величину . Таким образом, учитывая введенные обозначения, можно записать

Перейдем теперь к выводу неравенств, устанавливающих оценку погрешности приближения решения основной системы (VI.1). Покажем, что установление этой оценки для конечных значений не представляет затруднений. Однако для получения оценки погрешности приближения при потребовались еще довольно сложные рассуждения, касающиеся влияния малого остаточного члена на структуру решения.

Будем пользоваться следующими выражениями для модулей векторов и матриц: для вектора

для матрицы

При выводе оценки погрешности приближения рассмотрим разность между точным решением х уравнения (VI. 1) и его приближением

откуда

Из (VI.39) видно, что для оценки необходимо знать оценку модуля На основании (VI.36) и (VI.38)

откуда

Из (VI.41) видно, что для оценки необходимо сначала оценить Для этого выпишем (VI.36) и оценим модуль:

Но, очевидно, можно указать такое и такую положительную, постоянную относительно величину чтобы выполнялось неравенство при Рассматривая изменение

(кликните для просмотра скана)

откуда, полагая получаем

Из последнего неравенства непосредственно находим

поэтому

Перейдем, наконец, к установлению оценки модуля разности между точным решением и его приближением для конечных значений

Для любого фиксированного при достаточно малом

При из (VI.46) получаем

Это неравенство можно сформулировать в виде следующей теоремы.

Теорема 3. Для любого можно найти такие что для всех удовлетворяющих неравенству справедлива асимптотическая оценка

где

Таким образом, видно, что решение уравнения (VI.35) асимптотически стремится к решению уравнения (VI.33), что означает асимптотическое стремление приближенного решения уравнения (VI.1) к его точному решению х для всех конечных значений при достаточно малом е.

Однако при оценка (VI.48), а следовательно и (VI.49), удовлетворить нас не может, поэтому ее необходимо улучшить, что мы и сделаем после установления критерия сильной устойчивости решения х уравнения (VI. 1).