ГЛАВА II. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ ОПЕРАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ

§ 1. Некоторые предварительные операционные преобразования и их применение

Операционное исчисление возникло на основе создания системы формальных операций над символом. Например:

С другой стороны, действие интегрирования рассматривается в нем как применение символа вследствие чего

Эти операции дозольно удобны при решении весьма актуальных теоретических и практических задач, в первую очередь задач, связанных с решением линейных дифференциальных уравнений. Поэтому теоретическая и практическая стороны операционного исчисления почти всегда развивались одновременно, взаимно влияя друг на друга. Несмотря на стремление некоторых исследователей, особенно в начальный период развития операционного исчисления, видеть в нем лишь удобное средство для решения прикладных вопросов, теоретическая сторона развития операционных методов интересовала их не в меньшей степени. Развитие теории усилилось в начале XX в., когда появились новые направления в трактовке методов операционного исчисления.

Удобство метода операционного исчисления состоит прежде всего в привлекающей простоте его построения и в сравнительной несложности применения. Простым примером может

служить дифференциальное уравнение

Его можно записать в виде

откуда

или

Учитывая можно представить это уравнение в виде

т. е.

На этом примере можно проследить, как в операционном исчислении совершаются переходы от операций математического анализа к более простым действиям операционного исчисления и как в итоге снова совершается переход к первоначально искомой величине. Как и следовало ожидать, мы получили частный интеграл рассматриваемого уравнения, который при обращается в нуль. Этот же результат получится, если решать уравнение как линейное неоднородное порядка с постоянными коэффициентами по известной формуле

полагая для получения нужного частного интеграла Исходное уравнение можно также рассматривать и как уравнение с разделяющимися переменными

Тогда в общем интеграле этого уравнения

следует принять