ГЛАВА III. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 1. Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а также их систем

Большое значение приобрел операционный метод при решении линейных дифференциальных уравнений, особенно уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Это прежде всего относится к решению системы таких уравнений (например, в задачах электротехники). Метод степенных рядов в операционном исчислении позволяет не прибегать к решению соответствующих дифференциальным уравнениям характеристических уравнений, которые иногда имеют высокие степени, особенно в технических задачах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение

где коэффициенты — постоянные величины , при начальных условиях

где — заданные числа. Будем считать, что искомое решение уравнения (III.1) и его последовательные производные до порядка представляют собой оригиналы. Обозначим через изображение этого искомого решения.

Согласно теореме об изображении производных

Применяя теорему дифференцирования оригинала и свойство линейности, а также учитывая начальные условия, получаем вместо уравнения (III.1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:

Запишем это уравнение кратко

где — известные полиномы:

Из уравнения (III.3) находим

Остается по полученному изображению найти его оригинал применяя для этого соответствующие правила операционного исчисления.

Пусть теперь дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

при начальных условиях

и пусть функция входящая в его правую часть, является оригиналом некоторого изображения т. е.

Тогда, выполнив все изложенные выше операции, получим соотношение

По правилам операционного исчисления найдем соответствующий изображению оригинал т. е. решение уравнения (III.6).

При решении линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно пользоваться указанным выше способом, делая при этом упрощения, которые окажутся возможными в процессе выполнения требуемых действий.

Рассмотрим теперь систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в каноническом виде

при нулевых начальных условиях. Применяя операционный метод, допускаем, что функции являются решением данной системы и их производные имеют изображения. Положим в этой системе

Тогда получим систему уравнений

или после перемены знаков

(кликните для просмотра скана)

Здесь

прямая а находится с правой стороны от корней Заметим, что в соотношениях (III. 12) — полином от степени которого старший коэффициент равен Заметим также, что полиномы при имеют степень при — степень причем старший коэффициент равен

Пользуясь соответствующими сведениями из теории функций комплексного переменного и известными теоремами операционного исчисления, можно свести соотношения (III.12) к следующим:

где контур по которому выполняется интегрирование, охватывает все особые точки подынтегрального выражения, причем этими особыми точками являются нули которых может быть не больше

Нетрудно убедиться, что соотношения (III.14) удовлетворяют всем условиям системы (III.8), а именно:

1) при каждое из этих соотношений обращается в нуль, таким образом, удовлетворяются нулевые начальные условия;

2) система (III.14), подставленная в левые части уравнений (III.8), обращает эти уравнения в тождества, т. е. удовлетворяет заданной системе уравнений. Тогда

чем и доказано, что система (III.14), совпадающая при с системой (III.12), представляет собой решение системы уравнений (III.8) при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим теперь систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при любых начальных условиях. Используем способ, предложенный Н. М. Крыловым. Пусть

где — функции от удовлетворяющие неравенству (с — некоторая постоянная величина). Умножим каждое из уравнений системы на и проинтегрируем по в пределах от нуля до бесконечности, причем пусть где Получим

На основании принятых нами предположений интегралы в этом соотношении сходятся. Преобразуем интеграл в левой части (III.17), интегрируя по частям:

Положим теперь

Тогда уравнение (III. 17) примет вид

откуда

Представим последнее выражение в виде

Но согласно формуле Бромвича

С другой стороны, согласно принятому в операционном исчислении обозначению записываем

Теперь, учитывая (III.24) и заданную систему (III. 16), получаем

или

или в символической форме

Сравнивая (III.27) и (111.23), видим, что символическое выражение для интеграла

при интегрировании систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид