Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА III. ОПЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ§ 1. Решение линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, а также их системБольшое значение приобрел операционный метод при решении линейных дифференциальных уравнений, особенно уравнений с постоянными коэффициентами. Эффективность применения операционного исчисления при решении линейных обыкновенных дифференциальных уравнений состоит в удобстве и простоте вычислений. Это прежде всего относится к решению системы таких уравнений (например, в задачах электротехники). Метод степенных рядов в операционном исчислении позволяет не прибегать к решению соответствующих дифференциальным уравнениям характеристических уравнений, которые иногда имеют высокие степени, особенно в технических задачах. Рассмотрим дифференциальное уравнение
где коэффициенты
где Согласно теореме об изображении производных
Применяя теорему дифференцирования оригинала и свойство линейности, а также учитывая начальные условия, получаем вместо уравнения (III.1) алгебраическое соотношение, которое назовем изображением, или операторным уравнением:
Запишем это уравнение кратко
где
Из уравнения (III.3) находим
Остается по полученному изображению Пусть теперь дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами
при начальных условиях
и пусть функция
Тогда, выполнив все изложенные выше операции, получим соотношение
По правилам операционного исчисления найдем соответствующий изображению При решении линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами удобно пользоваться указанным выше способом, делая при этом упрощения, которые окажутся возможными в процессе выполнения требуемых действий. Рассмотрим теперь систему обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в каноническом виде
при нулевых начальных условиях. Применяя операционный метод, допускаем, что функции
Тогда получим систему уравнений
или после перемены знаков
(кликните для просмотра скана) Здесь
Пользуясь соответствующими сведениями из теории функций комплексного переменного и известными теоремами операционного исчисления, можно свести соотношения (III.12) к следующим:
где контур Нетрудно убедиться, что соотношения (III.14) удовлетворяют всем условиям системы (III.8), а именно: 1) при 2) система (III.14), подставленная в левые части уравнений (III.8), обращает эти уравнения в тождества, т. е. удовлетворяет заданной системе уравнений. Тогда
чем и доказано, что система (III.14), совпадающая при Рассмотрим теперь систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами при любых начальных условиях. Используем способ, предложенный Н. М. Крыловым. Пусть
где
На основании принятых нами предположений интегралы в этом соотношении сходятся. Преобразуем интеграл в левой части (III.17), интегрируя по частям:
Положим теперь
Тогда уравнение (III. 17) примет вид
откуда
Представим последнее выражение в виде
Но согласно формуле Бромвича
С другой стороны, согласно принятому в операционном исчислении обозначению записываем
Теперь, учитывая (III.24) и заданную систему (III. 16), получаем
или
или в символической форме
Сравнивая (III.27) и (111.23), видим, что символическое выражение для интеграла
при интегрировании систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид
|
1 |
Оглавление
|