§ 2. Примеры решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Итак, мы рассмотрели операционную теорию решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем таких уравнений. Проиллюстрируем на примерах применение этой теории. Сначала кратко изложим некоторые положения теории, чтобы при решении примеров можно было четко следовать сделанным выводам.

Рассмотрим формулу операционного изображения решения дифференциального уравнения

а именно:

где

Если — полином, то следует воспользоваться соответствующей теоремой разложения. При нулевых начальных условиях, т. е. при

формула (III.30) примет особенно простой вид

Но последнее может быть записано также в виде

Введем теперь функцию такую, что

и назовем ее, из электротехнических соображений, адмитанцем, или переходной проводимостью системы. Применим формулу произведения двух изображений. Получим

Решение заданного дифференциального уравнения можно получить также, исходя из формулы Бромвича

где — действительная часть переменного , удовлетворяющая требуемому условию существования указанного интеграла.

В дополнение укажем, что уравнение (III.29) принимает несколько более общий вид, если в левую его часть включить выражение При ненулевых начальных условиях, как легко видеть решение в операционной форме уравнения с включенным в его левую часть выражением имеет вид

где — величина, являющаяся следствием ненулевого условия.

Таким образом, мы строго математически обосновали теорию операционного решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем. Операционный метод в решении этих уравнений состоит в том, что сначала следует перейти от заданного дифференциального уравнения к соответствующему операционному уравнению и решить последнее (что требует применения лишь простых алгебраических

ических операций), а затем перейти от изображения, т. е. от решения операционного уравнения, к оригиналу, являющемуся искомым частным решением заданного дифференциального уравнения. Поэтому нередко применение операционного метода для решения дифференциальных уравнений называют алгебраизацией дифференциальных уравнений.

Пример 1. Решим уравнение

Сначала перейдем к соответствующему операционному уравнению. Пользуясь выведенными ранее формулами перехода (11.227), в левой части заданного уравнения получаем операционное выражение

где

Сумма в правой части исходного уравнения перейдет на основании формул (11.130) и (11.131) в выражение

Вся же правая часть исходного уравнения после применения теоремы затухания (свойства смещения) примет операционный вид Следовательно, операционное уравнение, соответствующее первоначальному дифференциальному уравнению, имеет вид

а его решение —

Теперь перейдем от , т. е. найдем решение первоначального дифференциального уравнения. Сначала разложим выражение

на простейшие дроби:

На основании формул (11.130), (11.131), (11.144) и теоремы затухания (свойства смещения) отсюда получаем

Нетрудно убедиться, что это и есть требуемое частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее поставленным начальным условиям.

Пример 2. Решим уравнение

при начальных условиях

Перейдем в заданном уравнении от производных к их изображениям с помощью формул (11.227):

где

Решая это уравнение, получаем

Пусть

Тогда

Разложим полученные дроби на простейшие. В частности, применим формулу (11.101). Это позволит перейти от изображений к оригиналам. После несложных вычислений приходим к соотношению

которое и является решением исходного дифференциального уравнения при указанных выше начальных условиях.

Пример 3. Решим уравнение

при начальных условиях

Перейдем сначала к операционному уравнению. Используя формулы (11.227) и заданные начальные условия, в левой части уравнения получаем выражение

где

В правой части заданного дифференциального уравнения имеем единицу, следовательно, ей будет соответствовать в операционном уравнении величина Тогда операционное уравнение примет вид

Отсюда

Это и есть решение операционного уравнения. Теперь перейдем от него к решению исходного дифференциального уравнения. Разложим правую часть решения операционного уравнения на простейшие дроби. Получим

(При разложении можно было применить сразу формулу (11.103).) На основании формулы (11.144) и теоремы затухания (свойства смещения) получаем искомое частное решение заданного дифференциального уравнения

Примечание. При решении заданного дифференциального уравнения можно воспользоваться готовой формулой предыдущего примера.

Пример, 4. Решим еще уравнение

при начальных условиях

Сначала найдем изображение искомого решения заданного дифференциального уравнения, воспользовавшись формулой (11.227):

Теперь для нахождения требуемого частного решения исходного дифференциального уравнения применим сразу общую формулу, полученную при решении в примере 2. Учитывая формулу разложения (11.103), получаем

Это и есть искомое частное решение заданного уравнения.

Пример 5. Решим дифференциальное уравнение с более сложной правой частью

при начальных условиях

Соответствующее операционное уравнение имеет вид

где

Отсюда

Из символического равенства

применяя формулу (11.141), получаем обычное равенство

Таким образом, можно записать

Переходя от последнего к оригиналу, получаем

Это и есть искомое частное решение исходного дифференциального уравнения.

Пример 6. Найдем общее решение дифференциального уравнения

По формулам (II.227), учитывая дополнительно символическое соотношение

в левой части заданного дифференциального уравнения получаем операционное выражение

Изображение правой части исходного уравнения по формуле (II. 141) примет вид

Тогда исходному дифференциальному уравнению будет соответствовать следующее операционное уравнение:

откуда

Таким образом, выражение для распадается на два слагаемых. Разложим каждое из них на простейшие дроби. Из первого слагаемого получим сумму трех дробей соответственно со знаменателями в числителях же их будут некоторые произвольные постоянные зависящие от начальных условий. При разложении на простейшие дроби второго слагаемого в выражении для получаем

Объединяя полученные результаты, приходим к выражению

где - произвольные постоянные: Теперь уже несложно перейти от к оригиналу, который будет представлять собой общее решение заданного дифференциального уравнения:

или

Это и есть общий интеграл заданного дифференциального уравнения.